浅谈弹性与碰撞：从小球的反弹看碰撞的奥秘
前段时间，我们学习跟牛顿定律有关知识时，常有小球从一定高度落下做自由落体运动状况，落到地面，之后反弹的情景题目出现。有些题的设定是完全弹性碰撞，小球反弹之后能回到原先高度。然而实际情形是小球弹起之后高度出现了减损。通常来讲，各异的小球跟各异的地面产生碰撞，弹起的高度以及次数通常存在差异高中物理 弹性碰撞，高度衰减的程度同样有所不同，然而我坚信这种衰减必定存在着类似的规律，也就是能够借助合理的建模，而达成预测某类材质的小球在第x次跟某类材质的地板碰撞之后弹起的高度h 。
这使我联想到，一年之前的时候，我于家中开展过极为相似的实验，用家中各式各样的小球，像乒乓球，弹性球，玻璃类的球等等，以及不同质地的地板，像木板质地的，瓷砖的质地，地毯质地等，去进行自由落体的实验，随后获取了许许多多的数据 当时在经历过几回走向失败的建模力图之后，最终我收获到了较为契合实验数据的模型 ，经由理论层面的剖析也是准确无误的 可讲这既是一回取得成功的物理方面的探寻，亦是我头一趟展开数学建模的试行 。
下面是复现实验和建模的过程，并分析其背后的原因。
去年年末，因疫情待在家中，实验条件甚为简陋，仅有的测量仪器是手机相机与尺子。小球在水平方向会受随机扰动，产生可观位移，总会跑到画面之外，想借手机录像和尺子配合记录小球每次弹起的精确高度h，实不太可能。于是我决定做改动，探究小球弹起时间t与已碰撞次数x（下称弹跳序数）的关系，如此便可不需尺子，将手机摄像头持续对准小球。若探究得到t与x之间的关系，借助位移与时间的公式，高度h同x的关系也会清晰明了。
可是，去查看手机录像而后发觉，所测时间的精度仍旧是差了那么一点儿，于是呀，我去用慢动作录像（事先已然测量了慢动作视频时间流逝的速度跟现实时间的比值）反向推算出真实的时间，测量精度一下子就提升上来了。（当然啦，因为掐表掐得并不精准，还是存在着一点点误差）。在不同的时刻我开展了多组实验，这是首次实验记录。
在得到这些实验的数据后，我进行了三次建模。
能想到，在实验得出的直接数据里头，所测的时间并非第x次和紧接着的下一次两次落地的时间差，而是小球第x次落地和第一次落地的时间差。第一个模型径直把这个时间当作t。第一个实验（橡胶小球从1.5m高度落向瓷砖）的图像像上面所展示的那样。因存在高度衰减，t与序数x的关系并非是线性的，而是这般向上凸的。
或许是被直观的那种印象给冲昏了脑海，我没有经过思索就认定，上面呈现的图像就是对数函数无疑，直接去做拟合。碰巧的是，针对这次的实验，ln函数居然拟合得相当好（如同图1所展示的那样），而后我愈发笃定这就是对数函数，还直接得出了结论：
表示小球第x次与第一次落地所经历的期间时间差的t，和x之间存在这样的关系，即t等于k乘以lnx再加上b 。
k以及b是那样的系数，此系数是单单凭借小球、地板材质直接予以确定的。就第一次所开展的实验而言，k 具备着1.6837这样的数值，b拥有着0.6318这样的数值。
要是这个结论没错（其中k以及b是仅仅依靠材质来确定的系数），那么要是第二次实验单单改变了下落的高度，所测量出来的k和b理应和上面的数值是一样的。然而下面第二次实验（把下落高度变为1m）（在下图2中）拟合的结果表明：k等于1.4673，b等于0.462。这明显和上面的结果存在巨大的差异。要是把这当作是误差的话，第三次实验（h等于2m）的结果k等于1.898，b等于0.6809又该怎么去解释呢？
倘若依照我当下的想法，这k与b的差异直接便能判定这个模型的终结，能够去研究更为优良的模型了。然而我那时仍未死心，或许是由于ln函数对每一个图象单独而言契合得格外出色，仅仅是每次实验的系数k、b各不相同而已。我偶然察觉到k和b似乎隐隐约约与高度h存在线性关联，要是设k=oh+p，b=qh+r，并且反向解出o、p、q、r这四个参数的话，这个模型尚有成立的可能性。
通过尝试，我得到以下拟合数据：
如此一来，凭借确定的材料（瓷砖，小球），确定出了四个参数o、p、q、r，进而能够随之得到同每个下落高度相对应的k和b，而后便出现了t=klnx+b，并且契合度颇为高昂。
终于，在这个模型达成所谓“大功告成”的状态之际，我才察觉到存在问题，两个物体为何会出现有四个参数的情况？并且，结论呈现出像是这般的模样：
小球第x次与第一次落地的时间差t与x的关系是t=k×lnx+b
k是由o、p、q、r四个参数确定的系数，b也是由o、p、q、r四个参数确定的系数，o、p、q、r由两个材料确定，它们的物理意义并不明确 。
由四个参数构建起了这般复杂的模型，对于每个参数，其物理意义并不清楚，它们无法展现出材质的任何一种性质。最为关键的是，为何最后的函数结果恰恰就是ln，其中的缘由究竟是什么，难道仅仅只是因为图像呈现出相似的样子 ？
种种疑点出现了。在这个时刻，我想到，事实上ln属于一个连续的函数品种，然而，我所获取到的实验数据，从本质上来说，它是离散的，它是那一列数据，哪怕ln拟合效果达到再好的程度，鉴于二者所有性质有所不一样，其图像根本就不可能是ln那个样子的。所以，我决定摒弃这头一个模型，不单单因为ln函数不太合适，它确实也缺少那种物理的简洁美感。
第二个模型里头，我做这样的假设，总时间t的平方，跟序数x、下落高度h是成正比例关系的，那么能够写成t=p√hx，这儿的p是由材质确定好了的参数。虽说它显得更加简洁，可就是在误差方面的表现比较大，并且没办法给出达到完全弹性碰撞时对应的p值（在这种状况下，t跟x变成了直接正比例关系，这并不契合t=p√hx等式，找不到p其实是很自然的事儿），所以呢，它也被舍弃掉了 。
下面来重点叙述第三个模型。
在这个时候，我察觉到，要是把小球第x次跟第一次落地的时间差当作t来展开研究，将遭遇极大的困难，所以转而采用某次弹起与下次弹起其间的时间间隔作为t，如此一来，每一回反弹的序数x对应着各异的t，故而t是x的函数，记为t(x)。（鉴于x是正整数，t也属于一个数列。）。
那么，经过简单的作差，第一次实验的图像将被改写成这样：
（弯弯曲曲的折线是我掐表不准造成的）
我做出这样的假设，为得以解释曲线，那就是每次碰撞弹跳高度缩短的比率是恒定不变的，也就是说，小球每一次弹起的高度h(x + 1)跟h(x)的比值始终都为q（0），是这样的情况。
t(x)=2√2hqx/g
当q=0.7时，第一个实验的拟合函数契合度最好。
针对第二个实验，其秉持材质不变，高度设定为1m，以及第三个实验，高度为2m这两种情境，均能够获取相同的q值0.7 ， 。
这表明，q实际上是确切地仅仅由材质所决定的，是和下落高度没有关联的一个数值，暂且把它称作“材质参数”。为能够开展进一步的检验，我在其他实验当中也相继获取到了q值，还有。
（相同的材料相同的颜色）
能够看到，在不一样的下落高度状况下，相同材质相互之间的q值大致相等，q的确跟下落高度h没有关联。我推测它跟碰撞的恢复系数存在关系。当q等于1的时候，t始终等于2√2h/g，这个弹跳的过程便是完全弹性碰撞。可以归纳出以下两点：
首先，参数q跟材质的光滑程度或者硬度呈现出正相关的关系，接着，瓷砖与玻璃的组合是最为光滑或者硬的，所以q是最大的，然后，这些均为材质的固有性质，故而对于给定的材料而言，q值不会发生改变。
2、从碰撞角度考虑，有这样的结论：
q=h(x+1)/h(x)
h∝v2 ⇒q=e2
e=v(x+1)/v(x)
当中的e呢，它是碰撞恢复系数。通过了解，我所引入的那个“材质参数”q，实际上是两种材质之间的碰撞恢复系数e的平方，并且这两者都是没有量纲的情况。那般情况下我所开展举办进行的这个实验，事实上实际上也同样是也是一种用来测量恢复系数的办法方法。
经分析能够知道，我所开展的全部实验，以及所有的一切资料皆显示，在特定的一定条件之下，于一定的相应精度范围之内，针对给定的那两个物体而言，碰撞恢复系数e，或者它所对应的平方即 “材质参数”q，是一个固定不变的常数 。
它的缘由究竟是啥呢？那时，我并未展开探究，一味觉得这是顺理成章的事儿。现如今，我发觉这件事能够持续深入思考 。
假设我们已经清楚，要是一个碰撞进程并非完全具弹性的碰撞，那么就势必会存在机械能的流失，接下来会从机械能出现损失的这个视角来展开有关分析，。
碰撞之时，物体面临挤压致使产生形变，进而生成弹力，弹力乃是弹性材料每一处“应力”的累积结果。理想类型的弹簧，其弹力契合胡克定律F=-kx，其他相关的弹性材料也大致符合胡克定律，然而这仅仅是近似状况，并非绝对严谨。原因在于，于碰撞进程中，弹性物质内部如同纤维束般的结构出现断裂，机械能会有部分转变为内能。这种转化相对微弱，真正对机械能损失影响较为显著的是“加载”，也就是受压逐渐增大的过程，以及“卸载”，即压力逐渐消失的过程中所产生的耗散能，其产生的原理，乃是弹性材料内部的摩擦把机械能耗散成为内能。
耗散能取决于弹性材料在加载、卸载进程里的滞回曲线，有着这样的情况，下图呈现的是理想橡胶材料所属的滞回曲线，其中，纵坐标为此处的应力F，横坐标是拉伸量x，能够发现它们并非如胡克定律那般是单纯的线性关系，于加载、卸载进程所对应的曲线中间存在部分面积被包围，而这个面积便是耗散能，弹性滞回现象属于物理学里常见的现象，接下来会借助简单的例子阐述弹性滞回现象：
一种物品，它是橡皮筋，其顶部固着于钩子，在此基础上，底部往这个钩子逐渐地悬挂物体，这里的物体就是钩码，随着这个动作，也就是加载钩码的过程，橡皮筋处于变长状态。随着更多数量的钩码向它上面进行加载，橡皮筋会持续有延伸的情况发生。接下来，当钩码一个个被从顶端取下的时候，带状的橡皮筋会因其所受的力减在减小，从而呈现出变短的状态变化 。
橡皮筋并非完全遵循胡克定律，能看出它在加载之际比卸载之时的劲度系数k要更大一些。在时间方面，当橡皮筋处于卸载状态时，它发生形变会落后于其受力的改变，这是由于长度产生变化是需要时间的，它还没有达到在加载情形下受到同样拉力时的长度。所以，在承受相同的力的时候，它在减重（卸载）时的长度相较于其在受压（加载）时的长度会长那么一点儿，在上图划一道水平线就能明晰了。这会致使橡皮筋在加载时所需的能量比卸载时要多，那些多余的能量作为内能而散失高中物理 弹性碰撞，这便是耗散能。
按照资料所显示的情况来看，在我的那个进行着的实验里留学之路，使用到的像是小球、地板的材质，也就是花岗岩、大理石之类的岩石，还有橡胶、玻璃等这些材料，都会呈现出明显的弹性滞后现象。所以呢，能够运用上面说到的理论，简明扼要地对实验予以一番分析。从上面的那个图可以了解到，曲线所包围起来的面积，也就是它们产生出来的耗散能E耗散，应当是和横坐标，也就是拉伸量x形成正比关系，也就是E耗散∝x2。因为在碰撞的时候所发生的挤压，致使动能转化成为了弹性势能，而x2是和v2成比例关系，通过这样的推导就能够知道E耗散∝Ek。究其所以，Ek减去E耗散与Ek成比例关系，v(n + 1)和v(n)成比例关系（平方时同样成比例），比例系数会是一个常数，这便是e或者q为常数的缘由。当然，这般证明并非极为严谨，也难以做到极为严谨。e是否是一个严格由材料所固定的常数，有谁能够说得清楚呢？
更深层次的研究已然超出了我当下的能力范畴，此次探究至此便告结束，我们自一次实验起始逐步展开建模分析，先是探寻碰撞反弹所遵循的为何样规律，而后又深入探究其为何遵循这般规律，一步步予以明晰，当前得出的结论是：小球与地面碰撞时，其恢复系数 e 始终为常数，实验也对这一点进行了佐证，如此一来，我们理应坚信此结论是可靠的。
【参考资料】