原创 郭洪英 孙元平 物理与工程
摘 要
对于在新高考模式里的选科以及高校录取模式而言, 其给大学物理教学已经带来不少困难, 怎样于困境当中对学生开展科学素养的培育, 这是普通地方院校理工科教学所面临的一个大问题。本文先是从质心的基本定义着手, 接着依照解决问题方法的由繁至简, 为半圆形均质薄片质心的求解给予了六种解题方法, 还兼顾了对有着不同数学和物理基础的学生进行发散性思维训练的方式。基于此情况, 探讨了新高考模式下大学物理教师在素质教育里应具有的角色。
关键词 均质薄片质心；发散性思维训练；新高考
新高考“3+3”式的选科模式, 以及高校录取政策, 致使地方院校理工科专业新生的物理基础呈现出参差不齐的状况, 进而造成了大学物理教学班学生面临“学习难”的困境, 同时, 也让教师陷入“授课难”的境地。导致“两难”困境出现的原因, 除了物理基础有所不同之外, 还在于中学与大学物理学习过程中所运用的数学手段存在差异。中学物理运用的数学知识是初等数学原理, 然而大学物理运用的却是高等数学里的矢量运算以及微积分运算, 二者差距极大。当下, 大一新生所面临的困难当中, 有其一便是怎样把关于高等数学微积分起始阶段的内容, 以及和大学物理对应的那些知识融会贯通起来。众多大学生都普遍表示, 单独呈现的物理思想可以明白, 单独来讲的数学微积分运算能够实现, 然而难点在于怎样依据物理思想借此展开数学建模进而完成一系列问题求解。
大学里的物理课程里, 连续体质心的计算属于难点咯 , 中学物理没涉及这块内容 , 这可是大中物理知识脱节典型例子 , 有些学生对这部分掌握不咋好。为了提升学生对物理学习兴趣引导开拓思路 , 加强大学物理与中学物理教学联系 , 本文拿连续体质心计算当例子 , 具体讲讲怎样通过多种方法求解问题启发学生自主思考 , 激发学习能动性与积极性 , 进而提升大学生科学素养培育。
1 问题及大学物理的通常解法
求解一个半径是R, 质量是m的半圆形均匀薄片的质心该怎么做呢? 这是一个二维尺度方面的问题, 通常教材当中会依据质心的定义, 借助微积分这种方法逐个求出质心在x轴以及y轴上的位置, 就像方法1所展示的那样。
方法一: 构建出如同图一所示那般的直角坐标系。设定薄片的质心坐标是C（xc, yc）, 其面密度为ρ, 那么薄片的质量是。
。根据质心的定义
为了计算简单高中物理计算格式，将直角坐标积分变换为极坐标积分，其中
有一个在均质薄片之上取的微元, 呈现出如图1所示的样子, 那这个微元的极坐标状况是矩形, 且它的面积是dS, 所以该微元的质量是dm, 而dm等于ρ dS, 又因为 ρ dS等于ρ乘dr再乘r dα, 所以。
所以，半径为 R 的半圆形均质薄片质心为
2 其他解法
借助方法 1 或者依据质量分布的对称性能够明确, 半圆形均质薄片的质心肯定处于 y 轴的某一个位置, 也就是 xC 等于 0。所以, 下面的几种针对质心的计算方式全部都归结到求取 yC 的结果上。
方式二: 像图二所呈现那般, 于均质薄片之内挑选矩形类面元, 此面元面积是 dS, 那么该面元的质量是 dm = ρ dS = ρ 乘以 dx 乘以 dy, 所以。
方法3: 如图3所示, 在薄片之上, 取一个平行于x轴的面元dS, 那么, 这个面元所具有的质量为。
由质心的定义可求出
方法4: 如图4所示, 在薄片之上取扇形面元dS, 此面元的圆心角为dθ, 该面元的质量为。
该扇形面元的质心 y′C, 能通过取扇形面元上径向长度是 dr 的矩形面元来得到, 其质量为 dm′, dm′等于 ρ dS′, 而 ρ dS′又等于 ρ 乘 r 再乘 dθ 乘 dr。
则该均质薄片的质心可根据定义求出为
方法5：如图 5 所示234范文网，已知半径为 r 半圆环的质心为
其中, dm等于ρdS, rho·πr·dr, 那么, 按照质心的定义, 能够求出。
方法6: 借助巴普斯定理。该定理的一种呈现形式给出了计算某特定情形下物体体积的简便办法（另一种形式是用于计算面积）, 平面物体在空间进行运动时所扫过的那部分体积等同于该平面的面积以及那个平面质心所经由路径的乘积, 也就是V =∑Vi =S ∑ΔZi, 这里的∑ΔZi是平面物体在运动过程中质心所经历的那段路程, S是平面物体的面积。
运用该定理求体积的呈现形式, 我们能够以相反的方式去求解平面物体的质心所在位置。假定均匀薄片的质心C处在y轴之上, 它与圆心O的间距是yC, 如同一幅图6所展示的那样。把半圆盘直边也就是x轴作为轴进行360°的旋转从而得到一个球形体, 其体积为。
；质心在旋转过程中经历的路程为 2πyC高中物理计算格式，半圆盘面积为
。根据巴普斯定理可写出方程
解得
3 解法的比较及大学教师的角色思考
处理物理问题时, 一转动物体惯量计算, 二功的计算, 三电场强度计算, 四磁感应强度计算等案例里, 一题存在多解这种情况极为常见, 这正如人们常说的“条条大路通罗马”。我们通过前面的求解过程能够看出, 前五种方法是依照质心的定义, 通过挑选不一样的基本质量元, 以此来简化问题在求解过程之中进行的微积分计算, 此外第六种方法将质心定义法计算过程里繁杂的微积分运算直接舍弃, 巧妙地借助起数学上求某种特殊情形之下物体体积的方法, 利用巴普斯定理间接地求解平面物体的质心, 该方法寻常被作为中学物理竞赛的拓展内容。
就大学物理课本上的常见解法而言, 存在方法 1 和方法 2: 其中一种是建立直角坐标系, 或者把直角坐标系转变为极坐标系, 借助双重积分来求解问题 ；另一种是方法 1 , 它是通过坐标系的变换, 运用极坐标系以及双重积分去求解问题。按照质心的定义, 在极坐标系里质量元被表达成 dm = ρ · dr · r dα。此方法物理图像清晰, 学生能够借助高等数学教材上类似的例题加以计算, 理解起来较为轻松, 不过计算过程略微繁琐。
有种采用的办法是, 在直角坐标系里选取特定的矩形面元, 其中质量元被表达成dm等于ρdS, 而ρdS又等于ρ乘以dx乘以dy。这般的方法契合学生从高中阶段所获取的经验, 对知识的衔接是有益处的, 然而其计算过程当中依旧牵涉到双重积分。
方法3借助直角坐标系中的关于对称这一特性, 把薄片顺着平行于x轴的方向进行分割, 使之成为数目众多的面元, 然后将存在质量特征点所关联出能够表示其属性方式认定表述为质量元其表达形式为。
。该方法将质心的计算转换成单重积分，简化了计算过程。
方法4, 对圆的基本分割单元加以考量, 进行了利用, 将面元选定为扇形, 把质量元表述成。
但是, 这种办法它是需要先去求出面元所能拥有的质心位置 y′C, 这之后, 还得继续在扇形相应的面元之上, 再去取一个矩形的面元。尽管说这个方法它的思路相对而言是比较简洁的, 而且, 前后两次的计算, 每一次都仅只是运用到了单重积分, 可是, 整个计算的过程依旧会显得颇为繁琐。
在方法5里, 它是针对上一种方法实施了简化操作, 是直接借助课本里半圆环的质心结论, 从中选取任意半径半圆环当作面元所在处, 然后把质量元代之以dm = ρ · πr · dr来进行表达。这种方法把原本的数学计算过程做进一步简化, 让物理所蕴含的思想能够呈现得更为清晰明朗, 把对于质心概念的理解予以深化。
方法 6 通过巴普斯定理绕避开高等数学里涉及的微积分, 借助其直接运用初等数学来求解, 计算过程简洁且技巧性超强, 高中生能掌握哪怕没学习过分高等数学, 它虽常用于竞赛但没参与过竞赛的大学生用也简单容易, 用这种方法对处理问题有扩宽知识面起到作用。
在本文之中, 给出了针对半圆形均质薄片质心来讲的六种解法，每一种方法, 都有着它自身的优点。只要能够认真去进行思考, 哪怕学生的数学基础和物理基础互不一样, 也可以获得准确的解答, 并且能够从中悟出: 不同方法的具体选取, 是能够对解决问题的难易程度产生影响的——这样一种从多角度进行发散思维的训练, 恰恰是大学素质教育的核心部分之一。高中阶段的应试教育, 一般会使得学生仅仅是被动地去接受教师所提出的观点, 从而缺少主动的思考能力；再加上大学物理课程的授课进度, 一向都是比较快的, 因此学生的自主思维能力, 通常是会受到一定限制的。大学物理课程, 是一门助力学生提升科学素养的通识之课, 只要满怀心力地去观察, 去思考 , 那看似繁杂紊乱的问题, 总归能梳理出头绪来。通常来讲 , 物理思维倾向于问题的最简解决办法 , 然而教师不能够仅仅是为学生给予这种最简思维, 而是应当对于学生怎样获取这种思维给予恰当的引导。授课进程之中, 教师要遵循学生的基础以及理解水平 , 恰到好处地引导学生从多个角度剖析思考问题 , 培育学生的发散思维以及独立思考的能力 , 引领他们寻觅解决问题的最简方式。所以, 于大学素质教育进程里, 教师不光得是课程的组织者、讲授者, 并且理应是课程的研究者、引导者。
4 结语
当下, 普通高校理工科专业入学新生的物理基础存在较大差异, 为了切实做好对学生发散性思维能力的培育训练, 大学物理的任课教师应当仔细钻研教材, 深入探究授课内容, 依据学生已掌握的知识（诸如高中物理、高等数学知识等）, 对课程的各主要知识点从多个角度展开思索并备好授课教案, 于中心内容阐释清晰的基础之上, 还需兼顾考量不同基础学生的思维方式, 从多个角度对学生进行知识理解能力的启迪与培育, 引领学生逐步构建科学的思维方法, 尽力做好教育引导者的角色。一位称得上优秀的大学物理教师, 理应借助历经两个学期的大学物理课程教学活动, 引领学生摆脱高中阶段固有的思维模式, 让学生得以掌握在开展科学研究、进行创新以及投身实践过程中所必需的物理思维方式, 进而促使大学教育能够切实成为素质教育。