- 电场曲线运动案例
电场曲线运动案例包括带电粒子在电场中的类似平抛运动和类斜上抛运动。
其中，带电粒子在电场中的类似平抛运动中，带电粒子所受的电场力（即电场线方向上的力）和重力（或磁场力）等恒力，使带电粒子在恒力作用下类似于平抛运动。
另外，带电粒子在电场中的类斜上抛运动中，带电粒子所受的电场力（即电场线方向上的力）和重力（或磁场力）等恒力大小不同，但方向始终不变，且始终与初速度方向垂直，使带电粒子在垂直于初速度方向上做类匀速直线运动，而在平行于初速度方向上做类上抛运动。
此外，在模拟实验中，带电粒子在有界磁场中的曲线运动也是电场曲线运动的一个案例。在这个案例中，带电粒子在垂直射入匀强磁场边界的过程中，由于受到洛伦兹力作用而发生偏转（或回转），形成各种形状的曲线。
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相关例题：
题目：一个带电粒子在电场中的曲线运动
假设有一个带电粒子，质量为m，电荷量为q，它在一个方向垂直于电场的平面上做曲线运动。已知电场强度E的方向与该平面垂直，粒子的初速度为v0。
在运动过程中，粒子受到电场力和重力两个力的作用。重力方向竖直向下，大小为mg。由于带电粒子的带电量为q，因此它受到的电场力方向与电场强度E的方向相同。
问题：
1. 请画出粒子在一段时间内的运动轨迹图，并标出各个力的方向。
2. 根据牛顿第二定律和运动学公式，求出粒子的加速度和速度随时间的变化关系。
3. 粒子在运动过程中，它的动能和重力势能如何变化？电势能和机械能如何变化？
4. 如果粒子最终做匀速圆周运动，那么它需要满足什么条件？请给出必要的推导过程。
解答：
【说明】由于电场力和重力的方向都在不断变化，因此粒子做曲线运动。电场力方向始终与电场强度E的方向相同，而重力方向竖直向下。
2. 根据牛顿第二定律，粒子受到的合力为：
F = qE + mg
根据运动学公式，有：
s = vt + 1/2at²
其中，s为粒子在一段时间内的位移，v为初速度，t为时间。将上述两个公式代入，得到：
a = (qE - mg) / m
根据动能定理，粒子的动能变化量为：
ΔEk = Fs = (qE + mg)s = qEt + mgs
其中，ΔEk为动能的变化量，Fs为合力做的功。由于粒子做曲线运动，因此有：
t = sqrt(2s/a)
将上述公式代入动能变化量公式中，得到：
ΔEk = sqrt(2qEs/m) + mgs
由于粒子受到重力和电场力两个力的作用，因此粒子的总能量包括动能、重力势能和电势能。粒子的机械能包括动能和重力势能的总和。根据能量守恒定律，粒子的机械能保持不变。因此，粒子的动能和重力势能的变化量之和等于电势能的减少量。即：
ΔEp = ΔEk - mgh
其中，gh为粒子在运动过程中上升的高度。由于粒子做曲线运动，因此上升的高度h不断变化。最终粒子做匀速圆周运动时，上升的高度h为零。因此有：
ΔEp = 0 - 0 = 0
3. 如果粒子最终做匀速圆周运动，那么它需要满足的条件是电场力恰好提供向心力。即：
qE = mω²r
其中，ω为圆周运动的角速度，r为圆周运动的半径。将上述条件代入能量守恒定律中，得到：
ΔEp = ΔEk = mω²r = qEr = qE(s/r) = qEs²/r² = 2mgEs²/r²
其中，Es²为粒子在运动过程中受到的电场力做的功的平方。由于粒子做曲线运动时上升的高度h不断变化，因此r不断变化。当r达到最小值时，粒子做匀速圆周运动。因此有：
rmin = sqrt(2mgEs²/qE)
4. 综上所述，如果粒子最终做匀速圆周运动，那么它需要满足的条件是电场力恰好提供向心力，且粒子的动能和重力势能的变化量之和等于零。同时还需要满足粒子的半径达到最小值时才能做匀速圆周运动。
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