- 卷行天下周测卷6物理高二
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相关例题：
题目：
假设有一个直径为d的圆筒，其内壁光滑，外壁粗糙。圆筒的一端有一个小孔，小孔处有一个小球，小球的质量为m。现在圆筒内加入一些水，水的质量为M。当圆筒静止时，小球在圆筒内做圆周运动，求小球做圆周运动的角速度。
分析：
这个问题涉及到圆周运动和牛顿第二定律的应用，需要考虑到小球受到的重力、水的压力和圆筒壁的摩擦力等多个力的作用。
解题过程：
$F_{水} + F_{摩擦} = momega^{2}r$
其中，F_{水}是水的压力对小球的作用力，F_{摩擦}是圆筒壁对小球的摩擦力，m是球的质量，omega是球的角速度，r是小球到圆筒中心的距离。
由于小球在圆筒内做圆周运动，所以小球受到的向心力是由水的压力和圆筒壁的摩擦力提供的。因此，水的压力对小球的作用力F_{水}可以表示为：
$F_{水} = momega^{2}rfrac{M}{M + m}$
其中，r是小球到小孔的距离。由于小球在圆筒内做完整的圆周运动需要一周的时间为T = 2πr/w，所以可以得到：
$T = frac{2pi r}{w}$
将这个公式代入到前面的方程中，可以得到：
$F_{水} + F_{摩擦} = mfrac{2pi r}{T}frac{M}{M + m}$
接下来，我们需要求解圆筒壁对小球的摩擦力F_{摩擦}。由于外壁粗糙，所以小球受到的摩擦力可以表示为：
$F_{摩擦} = mu F_{N}$
其中，F_{N}是小球对圆筒壁的压力，μ是圆筒壁对小球的摩擦系数。由于小球在圆筒内做圆周运动时，其受到的重力与支持力平衡，所以可以得到：
$F_{N} = mg$
将这个公式代入到前面的方程中，可以得到：
$F_{水} + F_{摩擦} = mfrac{2pi r}{T}frac{M}{M + m} + mu mg$
为了求解角速度omega，我们需要解这个方程。由于我们不知道μ的具体数值，所以我们需要进行一些假设。假设μ是一个常数，那么我们可以将μmg移到等号右侧，得到：
$mfrac{2pi r}{T}frac{M}{M + m} = F - mu mg$
其中，F是圆筒壁对小球的弹力。由于弹力与小球的向心力相等，所以可以得到：
$F = momega^{2}r$
将这个公式代入到前面的方程中，可以得到：
$mfrac{2pi r}{T}frac{M}{M + m} = momega^{2}r - mu mg$
将这个方程变形得到：
$omega^{2} = frac{2pi^{2}MrT}{M(M+m)} - frac{mu g}{r}$
最后，将这个方程中的r、T、M、m代入得到角速度的表达式中即可得到答案。注意要将μ看作一个常数进行求解。
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