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课时作业14　万有引力与航天(一)
时间：45分钟

1．地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离．已知木星公转的轨道半径约5.0天文单位，请估算木星公转的周期约为地球年(　C　)
A．3年 B．5年
C．11年 D．25年
解析：根据开普勒第三定律，有：R3木T2木＝R3地T2地，故T木＝T地 R木R地3＝53×1年≈11年，C正确．
2．科学家发现太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假设该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆，仅利用以上两个数据可以求出的量是(　A　)
A．该恒星与太阳的质量之比
B．该恒星与太阳的密度之比
C．该行星与地球的质量之比
D．该行星与地球表面的重力加速度之比
解析：根据万有引力提供向心力可得GMmr2＝m2πT2r，解得M＝4π2r3GT2，所以可求出该恒星与太阳的质量之比，故A正确；由于不知该恒星与太阳的半径之比，所以不能求出该恒星与太阳的密度之比，故B错误；根据万有引力提供向心力可得GMmr2＝m2πT2r，解得的M是中心天体的质量，所以不能求出该行星与地球的质量之比，故C错误；根据公式mg＝GMmR2可知g＝GMR2，由于不知该行星与地球的半径及质量关系，所以不能求出该行星与地球表面的重力加速度之比，故D错误．
3．1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”．若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2，则下列说法正确的是(　B　)
A．地球的质量m地＝GR2g
B．太阳的质量m太＝4π2L32GT22
C．月球的质量m月＝4π2L21GT21
D．由题中数据可求月球、地球及太阳的密度
解析：若不考虑地球自转，根据地球表面万有引力等于重力，有Gm地mR2＝mg，则m地＝gR2G，故A错误；根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有Gm太m地L22＝m地4π2T22L2，则m太＝4π2L32GT22，故B正确；由题中数据无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，故C、D错误．
4．“玉兔号”月球车与月球表面接触的第一步实现了中国人“奔月”的伟大梦想．若“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由落体实验，测得物体从静止自由下落h高度的时间t.已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G，则(　D　)
A．月球表面重力加速度为t22h
B．月球第一宇宙速度为Rht
C．月球质量为hR2Gt2
D．月球同步卫星离月球表面高度为3hR2T22π2t2－R
解析：由自由落体运动规律得h＝12gt2，所以g＝2ht2，故A错误；月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力得mg＝mv21R，所以v1＝gR＝2hRt2，故B错误；在月球表面的物体受到的重力等于万有引力，即mg＝GMmR2，所以M＝gR2G＝2hR2Gt2，故C错误；月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得GMmR＋h2＝m(R＋h)2πT2，解得h＝3hR2T22π2t2－R，故D正确．
5．(多选)公元2100年，航天员准备登陆木星，为了更准确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当到达与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经过时间t，收到激光传回的信号，测得相邻两次看到日出的时间间隔是T，测得航天员所在航天器的速度为v，已知引力常量G，激光的速度为c，则(　AD　)
A．木星的质量M＝v3T2πG
B．木星的质量M＝π2c3t32GT2
C．木星的质量M＝4π2c3t3GT2
D．根据题目所给条件，可以求出木星的密度
解析：航天器的轨道半径r＝vT2π，木星的半径R＝vT2π－ct2，木星的质量M＝4π2r3GT2＝v3T2πG，知道木星的质量和半径，可以求出木星的密度，故A、D正确，B、C错误．
6．2012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体的表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中(　C　)

A．它们做圆周运动的万有引力保持不变
B．它们做圆周运动的角速度不断变大
C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大
D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小
解析：对双星M1、M2，设距离为L，圆周运动半径分别为r1、r2，它们做圆周运动的万有引力为F＝GM1M2L2，距离L不变，M1与M2之和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生变化，A错；依题意双星系统绕两者连线上某点O做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由万有引力定律及牛顿第二定律：GM1M2L2＝M1ω2r1，GM1M2L2＝M2ω2r2，r1＋r2＝L，可解得：M1＋M2＝ω2L3G，M1r1＝M2r2，由此可知ω不变，质量比等于圆周运动半径的反比，故体积较大的星体因质量减小，其轨道半径将增大，线速度也增大，B、D错，C对．
7．牛顿思考月球绕地球运行的原因时，苹果偶然落地引起了他的遐想：拉住月球使它围绕地球运动的力与拉着苹果下落的力，是否都与太阳吸引行星的力性质相同，遵循着统一的规律——二次方反比规律？因此，牛顿开始了著名的“月—地检验”．
(1)已知月球与地球的距离约为地球半径的60倍，如果牛顿的猜想正确，请你据此计算月球公转的向心加速度a和苹果下落的加速度g的比值；
(2)在牛顿的时代，月球与地球的距离r、月球绕地球公转的周期T等都能比较精确地测定，请你据此写出计算月球公转的向心加速度a的表达式；已知r≈3.84×108 m，T≈2.36×106 s，地面附近的重力加速度g取9.80 m/s2，请你根据这些数据估算比值ag；与(1)中的结果相比较，你能得出什么结论？
解析：(1)设月球的质量为m月，地球质量为M，根据牛顿第二定律有GMm月r2＝m月a
设苹果的质量为m，地球半径为R，根据牛顿第二定律有
GMmR2＝mg
由题意知r＝60R　联立可得ag＝13 600
(2)由向心加速度的表达式得a＝v2r　其中v＝2πrT
联立可得a＝4π2T2r　代入相关数据可得ag≈13 604
比较(1)中的结果，二者近似相等，由此可以得出结论：牛顿的猜想是正确的，即地球对月球的引力，地面上物体的重力，都与太阳吸引行星的力性质相同，遵循着统一的规律——二次方反比规律．
答案：(1)13 600　(2)见解析

8．(2019•辽宁模拟)地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a；假设月球绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r1，向心加速度为a1.已知引力常量为G，地球半径为R.下列说法中正确的是(　A　)
A．地球质量M＝a1r21G
B．地球质量M＝aR2G
C．地球赤道表面处的重力加速度g＝a1r21GR2－a
D．加速度之比a1a＝R2r21
解析：月球围绕地球转，根据万有引力提供向心力，有GMmr21＝ma1，得地球质量M＝a1r21G，A正确，B错误；在赤道处的物体，GMmR2－mg＝ma，解得g＝a1r21R2－a，C错误；对月球有GMmr21＝ma1，对地球赤道上的物体有GMmR2－mg＝ma，a1a≠R2r21，D错误，故选A.
9．(2019•江西赣州联考)(多选)太阳系中某行星运行的轨道半径为R0，周期为T0，但天文学家在长期观测中发现，其实际运行的轨道总是存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离(行星仍然近似做匀速圆周运动)．天文学家认为形成这种现象的原因可能是该行星外侧还存在着一颗未知行星．假设两行星的运行轨道在同一平面内，且绕行方向相同，则这颗未知行星运行轨道的半径R和周期T是(认为未知行星近似做匀速圆周运动)(　BC　)
A．T＝t20t0－T0 B．T＝t0t0－T0T0
C．R＝R03t0t0－T02 D．R＝R03t0－T0t02
解析：行星的运行轨道发生最大偏离时，两行星与太阳在同一直线上且位于太阳同一侧，则有2πT0t0－2πTt0＝2π，解得未知行星的运行周期T＝t0t0－T0T0，故B正确，A错误．由开普勒第三定律有R30T20＝R3T2，解得R＝R03t0t0－T02，故C正确，D错误．
10．设地球是一质量分布均匀的球体，O为地心．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．在下列四个图中，能正确描述x轴上各点的重力加速度g的分布情况的是(　A　)

解析：设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有mg＝GMmR2，即g＝GMR2，由于地球的质量M＝43πR3ρ，所以地球表面重力加速度的表达式可写成g＝4πGRρ3.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为R­x的井底，物体受到地球的万有引力即为半径等于x的球体在其表面产生的万有引力，g＝4πGρ3x，即当xR时，g＝GMx2，g与x平方成反比，故A正确．
11．宇宙中有两颗相距无限远的恒星s1、s2，半径均为R0.下图分别是两颗恒星周围行星的公转周期T2与公转半径r3的关系图象，则(　B　)

A．恒星s1的质量大于恒星s2的质量
B．恒星s1的密度小于恒星s2的密度
C．恒星s1的第一宇宙速度大于恒星s2的第一宇宙速度
D．距两恒星表面高度相同的行星，s1的行星向心加速度较大
解析：根据公式GMmr2＝m4π2T2r得M＝4π2r3GT2，r3T2越大，M越大，由题图可以看出s2的质量大于s1的质量，故A错误；两颗恒星的半径相等，则它们的体积相等，根据M＝ρV，所以质量大的s2密度大，故B正确；根据万有引力提供向心力，则GMmR20＝mv2R0，所以v＝GMR0，由于恒星s1的质量小于恒星s2的质量，所以恒星s1的第一宇宙速度小于恒星s2的第一宇宙速度，故C错误；距两恒星表面高度相同的行星，它们的轨道半径相等，它们的向心加速度a＝GMr2，所以s1的行星向心加速度较小，故D错误．
12．由于地球的自转，物体在地球上不同纬度处随地球自转所需向心力的大小不同，因此同一个物体在地球上不同纬度处重力大小也不同，在地球赤道上的物体受到的重力与其在地球两极点受到的重力大小之比约为299300，因此我们通常忽略两者的差异，可认为两者相等．而有些星球，却不能忽略．假设某星球因为自转的原因，一物体在该星球赤道上的重力与其在两极点受到的重力大小之比为78，已知该星球的半径为R.(引力常量为G)
(1)求绕该星球运动的同步卫星的轨道半径r；
(2)若已知该星球赤道上的重力加速度大小为g，求该星球的密度ρ.
解析：(1)设物体质量为m，星球质量为M，星球的自转周期为T，物体在星球两极时，万有引力等于重力，即
F万＝GMmR2＝G极
物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力G赤，有F万＝G赤＋Fn
因为G赤＝78G极，所以Fn＝18•GMmR2＝m2πT2R
该星球的同步卫星的周期等于星球的自转周期T，则有
GMm′r2＝m′4π2T2r
联立解得r＝2R.
(2)在星球赤道上，有78•GMmR2＝mg
解得M＝8gR27G
又因星球的体积V＝43πR3
所以该星球的密度ρ＝MV＝6g7GπR.
答案：(1)2R　(2)6g7GπR