陈景润的数学故事：
一天夜晚，陈景润走上了北京街头，他一边散步一边思考着数学问题。突然，他看到地上有一张废纸，他弯腰捡起来一看，原来是一张数学题纸，他便认真地思考起来。
第二天，陈景润又遇到了那个人，那人问他昨天是不是被他解出来了。陈景润回答说没有，于是那个人就给他出了一道更难的数学题。陈景润回家后，经过很长时间的研究和演算，最终解出了这道难题。
相关例题：
例题：求证：13+23+33+…+n3=n2(n+1)(2n+1)
证明方法：
首先，我们需要证明这个等式对于任意正整数n都成立。我们可以使用数学归纳法来证明这个等式。
首先，当n=1时，左边=13+23=9，右边=2×2×3=6×3=6×(2+1)(2×2+1)=9，左边=右边，所以等式成立。
假设当n=k时，等式成立，即有13+23+33+…+k3=k2(k+1)(2k+1)。那么当n=k+1时，左边=13+23+…+(k+1)3=k2(k+1)(2k+1)+(k+1)3=(k+1)(k2+k+2k2+1)=(k+1)(k+1)(k+2)(k+1)+1=(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)+1=(k+1)(k+2)(2k+3)，右边=(k+1)×(k+2)×(2k+4)=(k+1)(k+1)(2k+2)+4(k≥0)，显然左边=右边，所以当n=k+1时等式也成立。
综上所述，对于任意正整数n都成立。
这道例题可以帮助我们更好地理解数学归纳法以及数列求和的方法。
陈景润的数学故事：
一天，陈景润吃中饭的时候，一边拿火柴梗在嘴里嚼，一边埋头计算数学题。正当他聚精会神的时候，连饭烧焦了也不知道。他的数学老师走过来，一拍他的肩膀说：“陈景润，你在这里究竟解决了多少个难题呀？”老师看到他的碗里剩下烧焦的饭，才明白过来。
例题：
例题1：求(x+2)(x+6)(x+4)的值。
解：将原式展开，得x²+8x+12x+24x+48=x²+10x+60。
例题2：求(x-3)²的值。
解：将原式展开，得x²-6x+9=x²-6x+9。
例题3：求(x-y)(x-z)的值。
解：将原式展开，得x²-2xy+xz-yz=x²-y²-z²+2yz。
以上是陈景润学习数学时遇到的一些例题，这些例题不仅帮助他巩固了数学知识，还培养了他的数学思维能力和解题技巧。
陈景润的数学故事
一天，陈景润吃中饭的时候，一边用左手敲打自己的脑门，一边埋头认真计算，饭粒粘在额头上他也不知道。正当他聚精会神地思考着解题方法时，一个同学跑过来大声喊道：“陈景润，陈景润，有你的信！”陈景润愣了一下，才缓过神来。他用手背擦了擦额头上的饭粒，赶紧跑到邮筒跟前。
他接过信，回到教室里，迫不及待地拆开信封。原来是一位知名人士写来的，要他加入集邮爱好者小组。陈景润笑呵呵地说：“等打完这场‘仗’，我一定参加。”
陈景润说的“仗”是指解析数学问题。他拆开另一封信，原来是同班同学想向他请教一道习题。陈景润谦虚地说：“让我们共同探讨这道题吧！”说着就取出了纸和笔，在黑板上写下了解题的过程。
例题：
题目：求证：13+23+33+…+n3=14(1+2+3+…n)(n≥2)。
常见问题：
1. 求证：13+23+33+…+n3=n4(n为正整数)。
2. 求证：14+24+34+…+n4=n(n≥2)。
以上两个问题都是求证等式左边与右边的结果相等，需要运用数学归纳法进行证明。
对于第一个问题，可以先求出前几项，观察规律，再证明一般情况。例如：
13=1×1×(1+1)2=1×(1×2)×2=2×1×2；
23=2×2×(2+1)2=2×(2×3)×3=6×2×3；
33=3×3×(3+1)2=3×(3×4)×4=6×7×4；
……
可以发现，左边各项都是一个数的立方乘以这个数的个数(即n个)，而右边则是这个数的和乘以这个数的个数(即n)。因此，可以归纳出一般规律：左边各项的系数是n个因数之积的系数，分母是n个因数的立方和；右边是n个因数的和乘以n个因数之和的个数。这样就可以证明等式成立。
对于第二个问题，可以先求出前几项，再观察规律进行证明。例如：
14=1×(1×2×3)/4；
24=(2×3)/4×(2×4)；
34=(3×4)/4×(3×5)；
……
可以发现，左边各项的分母是n个因数的积除以n个因数之和的个数(即n个)，而右边则是这个数的平方减去这个数的差的一半乘以这个数的平方。因此可以归纳出一般规律：左边各项的分母是n个因数之积除以n个因数之和的个数；右边是左边各项的差的一半乘以左边各项的平方减一。这样就可以证明等式成立。