物体所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比（F=-kx），并且总指向平衡位置，则物体所做的运动叫做简谐运动。如下图所示，O点为弹簧原长端点，水平面光滑，质量为m的小球在弹簧弹力的作用下在A^′和A之间做往复运动，在此运动中，小球受的力与它偏离平衡位置（O点）的位移大小成正比，并且总指向平衡位置，小球运动形式为简谐运动。
如果从平衡位置开始计时，则简谐运动的振动方程x=Asin ωt ，周期T=2pi sqrt{cfrac{m}{k}} ，下面刘叔物理用几种方法推出简谐运动的振动方程。
1、匀速圆周运动投影法
先说结论：匀速圆周运动在任意直径方向的投影是简谐振动
匀速圆周运动在任意直径方向的投影是简谐振动
如下图所示，我们讨论一下匀速圆周运动在x轴上的投影规律。已知物体作匀速圆周运动的初始位置在x轴，角速度为ω，半径为r。
运动轨迹在x轴上的投影为：x=rcosα=rcos(wt)
线速度在x轴上的投影为：v=ωrsin(wt)
加速度在x轴上的投影为：a=-ω^2rcos(wt)
由加速度公式：a=-ω^2rcos(wt)，我们可以知道F=ma=-mω^2rcos(wt)，再将x=rcos(wt)代入。
可得：F=-mω^2x，令k=mω^2
最后得到：red {F=-kx}
再由k=mω^2，得到ω=sqrt{cfrac{k}{m}}，由周期公式T=cfrac{2π}{ω}，代入可得，T=2pi sqrt{cfrac{m}{k}} ，即简谐振动周期公式。
2、费曼推理法
由{F=-kx⇒mcfrac{d^2x}{dt^2}=-kx⇒cfrac{d^2x}{dt^2}=-cfrac{k}{m}x}
令cfrac{k}{m}=1，得：cfrac{d^2x}{dt^2}=-x
从上面可知，一个函数对时间两次求导后，居然变回了自己得相反数，可以发现，正余弦函数都可以满足，先不妨设置x=cos (t)
时间t的单位是秒，但余弦cos括号里的单位应该是以度为单位的，所以括号里的不应该只有时间，应该还有一个量，让它与时间相乘等于角度量，很容易得出这个量是角速度ω，这样振动方程就是下面这个样子：
x=cos (ωt)
为了知道ω是什么，将上式代入cfrac{d^2x}{dt^2}=-x，可得：
cfrac{d^2x}{dt^2}=-ω^2x
通过比较发现，当令ω^2=cfrac{k}{m}时，就与{cfrac{d^2x}{dt^2}=-cfrac{k}{m}x}完全一样了。ω=sqrt{cfrac{k}{m}}
对函数x=cos (ωt)分析：
（1）很明显是个周期函数，周期T=cfrac{2π}{ω}=cfrac{2π}{sqrt{cfrac{k}{m}}}=2πsqrt{cfrac{m}{k}}，简谐振动也是一个周期性的振动，这一点满足。
（2）当t=0时，x=1，为函数的最大值，这说明当t=0时，在简谐振动的最大位置，即从简谐振动的最大位移开始振动，但这里有一个问题，最大位置的位移不一定是个1，所以这里我们需要配一个常数，表示简谐振动的最大位移，这里我们用A表示，这样函数公式就变成x=Acos (ωt)。
（3）如果不是从简谐振动的最大位移开始振动，而是从平衡位置开始振动，则需要当t=0时，x=0，就相当于x=Acos ω(t+t_0)，此时的ωt_0=cfrac{π}{2}，可以理解到，ωt_0决定振动的初始位置，我们将这个位置取个专业一点的名字，叫做初相，用φ表示，到此，我们得出的振动的方程为：
x=Acos (ωt+φ)
上面这个方程很明显就是简谐运动方程。
3、能量守恒法
小球在做简谐运动的过程中弹簧和小球组成的系统能量守恒，在最大振幅A时，系统的能量E=cfrac{1}{2}kA^2为一定值。
由能量守恒：cfrac{1}{2}kA^2=cfrac{1}{2}m(cfrac{dx}{dt})^2+ cfrac{1}{2}kx^2
化简可得：(cfrac{dx}{dt})^2=cfrac{k}{m} (A^2-x^2)
cfrac{dx}{dt}=ωsqrt{ A^2-x^2} 其中ω^2=cfrac{k}{m}
分离变量：cfrac{dx}{sqrt{ A^2-x^2}}=ωdt
两边积分：int{cfrac{dx}{sqrt{ A^2-x^2}}}=ωint{dt}
可得：arcsin(cfrac{x}{A})=ωt+C
最后得：red {x=Asin(ωt+C)}
（1）如果从平衡位置开始计时，t=0时，x=0，C=0
振动方程x=Asin ωt
（2）如果从最大振幅位置开始计时，t=0时，x=A，C=cfrac{π}{2}
振动方程x=Asin (ωt+cfrac{π}{2}) =Acos ωt
4、积分法
简谐运动满足F=-kx⇒ma=-kx
又由a=cfrac{dv}{dt}=cfrac{dv}{dx}cfrac{dx}{dt}=cfrac{dv}{dx}v
可得：mcfrac{dv}{dx}v=-kx⇒mvdv=-kxdx
两边积分：mint vdv=-kint xdx
可得：cfrac{1}{2}mv^2=-cfrac{1}{2}kx^2+C⇒v^2=-cfrac{k}{m}x^2+2C
令cfrac{k}{m}=ω^2。当v=0时，x=A，C=cfrac{ω^2A^2}{2}，2C=ω^2A^2
由：v^2=-cfrac{k}{m}x^2+2C⇒(cfrac{dx}{dt})^2=-ω^2x^2+ω^2A^2
可得：cfrac{dx}{dt} =sqrt{-ω^2 x^2+ω^2 A^2}⇒cfrac{dx}{sqrt{ A^2-x^2}}=ωdt
两边积分：int{cfrac{dx}{sqrt{ A^2-x^2}}}=ωint{dt}
可得：arcsin(cfrac{x}{A})=ωt+C
最后得：red {x=Asin(ωt+C)}
（1）如果从平衡位置开始计时，t=0时，x=0，C=0
振动方程x=Asin ωt
（2）如果从最大振幅位置开始计时，t=0时，x=A，C=cfrac{π}{2}
振动方程x=Asin (ωt+cfrac{π}{2}) =Acos ωt
5、泰勒级数法
泰勒级数法相对就比较高级了，那什么是泰勒级数呢，通俗的说就是一个不常见的函数，我们用一些熟悉的幂函数不断去拟合这个函数，说到底就是用来近似的、仿造的。
泰勒级数展开式子：f(x)=f(0)+cfrac{f^{(1)} (x)}{1} x+cfrac{f^{(2)} (x)}{2!} x^2+cfrac{f^{(3)} (x)}{3!} x^3+...+cfrac{f^{(n)} (x)}{n!} x^n
设函数x(t)=x(0)+a_1t+a_2t^2+a_3t^3+a_4t^4+a_5t^5...+a_nt^n
对x(t)求一阶段导得：cfrac{dx}{dt}=a_1+2a_2t+3a_3t^2+4a_4t^3+5a_4t^4...+na_nt^{(n-1)}
对x(t)求二阶段导得：cfrac{d^2x}{dt^2}=2a_2+6a_3t+12a_4t^2+20a_4t^3+...+n(n-1)a_nt^{(n-2)}
凑成简谐振动式子：cfrac{d^2x}{dt^2}+ω^2x=(2a_2+ω^2x(0))+(6a_3+ω^2a_1)t+(12a_4+ω^2a_2)t^2+(20a_5+ω^2a_3)t^3+...=0
需要保证上式对任意t，等于零恒成立，则上式各项系数为零。
即：2a_2+ω^2x(0)=0，6a_3+ω^2a_1=0，12a_4+ω^2a_2=0，20a_5+ω^2a_3=0，…
可得：a_1=0，a_2=-cfrac{1}{2!}ω^2x(0)，a_3=0，a_4=cfrac{1}{4!}ω^4x(0)，a_5=0，a_6=-cfrac{1}{6!}ω^6x(0)，…
可得：x(t)=x(0)+a_2t^2+a_4t^4+...⇒x(t)=x(0)-cfrac{1}{2!}(ωt)^2x(0)+cfrac{1}{4!}(ωt)^4x(0)+...=x(0)[1-cfrac{1}{2!}(ωt)^2+cfrac{1}{4!}(ωt)^4+...]
由于函数cos (ωt)的泰勒级数展开cos (ωt)=1-cfrac{1}{2!}(ωt)^2+cfrac{1}{4!}(ωt)^4+...
最后可得：red {x(t)=x(0)cos (ωt)}，即简谐运动振动方程。