一、问题讨论
如下图所示，中心天体在O点，1为椭圆轨道，2为圆形轨道，两轨道相切A点，那么椭圆轨道和圆轨道相切位置A点的向心加速度是否相等呢？
讨论分析：将这个问题拿出来分析的原因是看到一些参考书和课件，说在A点，圆轨道的向心加速度大于椭圆轨道的向心加速度，因为圆轨道A点速率大于椭圆轨道A的速率，根据a_向=cfrac{v^2}{r}，可知圆轨道的向心加速度大，刘叔物理认为这样分析明显有个错误，就是把椭圆轨道在A点的曲率半径等于圆轨道的半径，椭圆轨道在A点的曲率半径是明显小于圆轨道半径的，其实通过证明，可以得到椭圆轨道在A点的曲率半径rho_A=cfrac{b^2}{a}(a为长半轴，b为短半轴)，那么椭圆轨道和圆轨道在A点的向心加速度大小是怎么样的呢？其实是相等的。
不管是圆轨道还是椭圆轨道，在A点速度方向均与万有引力方向垂直，万有引力全部提供向心力，产生向心加速度，所以向心加速度相等。
二、求椭圆轨道短轴端点和长轴端点处的曲率半径
设离中心天体无穷远处引力势能为零，则离中心天体距离为d时引力势能E_p=-cfrac{GMm}{d}，如下图所示，A点距离中心天体距离为a+c，B点距离中心天体距离为a。
在A、B两点由能量守恒可得：
-cfrac{GMm}{a+c}+cfrac{1}{2}m{v_A}^2=-cfrac{GMm}{a}+cfrac{1}{2}m{v_B}^2
在A、B两点根据开普勒第二定律：v_Bacos theta =v_A(a+c)
在A点：Gcfrac{Mm}{{(a+c)}^2}=mcfrac{{v_A}^2}{rho_A}
在B点：Gcfrac{Mm}{a^2}costheta=mcfrac{{v_B}^2}{rho_B}
其中cos theta=cfrac{b}{a}
椭圆满足a^2=b^2+c^2
联立以上各式可得：rho_A=cfrac{b^2}{a}，rho_B=cfrac{a^2}{b}
三、万有引力与航天一些结论
1、质量分布均匀的薄球壳在其内部产生的引力场场强处处为零。（或者说球壳对内部物体的引力为零）。推广：均匀椭球体外壳对其空腔中任意一点的引力大小也为零。
2、在半径为R的均匀球体内部挖去半径为r的一个小球（两球圆心不重合），空腔内部的引力场恒定不变，物体在空腔内的加速度恒定。
3、质量为m物体，可视为质点，从无限远处靠近质量为M的均匀星球，设星球的半径为R，物体与星球M圆心的距离为r，则引力产生的加速度a与r满足如下关系：
（1）当rgeq R时，a=cfrac{GM}{r^2}
（2）当r<R 时，a=cfrac{4}{3}Grho pi r
4、两星球环绕同一中心天体运动，一个圆形轨道，一个椭圆轨道，如果周期相同，则它们轨道交点处的速率相等，如下图，中心天体在O点，v_1=v_2
