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第36届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及解答
2019 年 9 月 21 日
一(40 分)、如图 a，旅行车上有一个半径为 R 的三脚圆凳(可视为刚性结构)，三个相同凳脚的端点连线(均
水平)构成边长为a的等边三角形，凳子质心位于其轴上的G点.半径为r的一圆筒形薄壁茶杯放在凳面上，
杯底中心位于凳面中心 O 点处，茶杯质量为 m(远小于凳子质量)，其中杯底质量为
5
m
(杯壁和杯底各自的质
量分布都是均匀的)，杯高为 H(与杯高相比，杯底厚度可忽略).杯中盛有茶水，茶水密度为
 .重力加速度
大小为 g.
(1)为了使茶水杯所盛茶水尽可能多并保持足够稳定，杯中茶水的最佳高度是多少?
(2)现该茶水杯的底面边缘刚好缓慢滑移到与圆凳的边缘内切于 D 点时静止(凳面边有小凸缘，可防止物体
滑出；凳面和凳面边的凸缘各自的质量分布都是均匀的)，且 OD⊥AC(见图 b)，求此时旅行车内底板对各凳
脚的支持力相对于滑移前(该茶水杯位于凳面中心处)的改变.
参考解答:
(1)以凳面中心 0 为坐标原点，以过 O 点向上的竖直线为 y 轴.茶杯(包括茶水在内)的质心位置
CM y
为
2
2
4
( )
5 2 2
( ) CM
m H h r h
y
m r h
 
 
 


(1)5 分
式中 h 是杯中茶水的高度.令
2
h r   ，(1)式即
2
4
5 2 2
CM
m H h
y
m h


 


事实上，考虑在茶杯中茶水的水平面从杯底逐渐缓慢上升的过程，茶水杯整体的质心先是逐渐降低，
然后再逐渐上升.为了使茶水杯盛尽可能多的茶水并保持足够稳定，茶水杯整体的质心应尽可能接近凳
面，处于最低点的位置
max min ( ) ( ) CM CM y h h y  
，故有
max
0
CM
h h
dy
dh 
 (2)5 分
由(1)(2)式得
max
4
1 1
5
m H h
m


 
       
(3)
舍弃负值(不合题意)，杯中茶水的最佳高度为
max
4
1 1
5
m H h
m


 
      
2
2
4
1 1
5
m r H
r m
 

 
    
   
(4)3 分
【另一种解法：
事实上，考虑在茶杯中茶水的水平面从杯底逐渐缓慢上升的过程，茶水杯整体的质心先是逐渐降低，
然后再逐渐上升.为了使茶水杯盛尽可能多的茶水并保持足够稳定，茶水杯整体的质心应尽可能接近凳
面，处于最低点的位置
max min ( ) ( ) CM CM y h h y  
.(1)式即
2
2
5 2
2
CM
mH m
m h m
y
m h
 
  


  

它满足代数不等式
2 2
min
2 2
5 2 5 2 2 2 =( )
2 2 CM CM
mH m mH m
m h m m
y y
m h
  
    
 

    

式中当 h 满足
2
2
5 2
2
mH m
m h
m h
 
 




即
max
4
1 1
5
m H h h
m


 
       
2
2
4
1 1
5
m r H
r m
 

 
    
   
(4)3 分
时取等号，
max h
即杯中茶水的最佳高度.】
(2)记凳子质量为M.该茶水杯的底面边缘刚好滑移到与圆凳的边缘内切于D点静止后，坐标系及三脚圆凳的
受力分析分别如解题图a和解题图b所示，其中
NA 、 NB
和
NC
分别是车内底板对凳脚A、B和C的支持力.