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实验十三　用单摆测定重力加速度
目标要求 　1.知道利用单摆测定重力加速度的原理.2.掌握利用单摆测定重力加速度的方法.
实验技能储备
1.实验原理
当摆角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2πlg，由此得到g＝4π2lT2，因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值.
2.实验器材
单摆，游标卡尺，毫米刻度尺，停表.
3.实验过程
(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆.
(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图1所示.

图1
(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l′＋r.
(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T.
(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度.
(6)改变摆长，重做几次实验.
4.数据处理
(1)公式法：利用T＝tN求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝4π2lT2求重力加速度.
(2)图象法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图象，由单摆周期公式得l＝g4π2T2，图象应是一条通过原点的直线，如图2所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度.

图2
5.注意事项
(1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定.
(2)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°.
(3)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数.
(4)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l′＋r.
(5)一般选用一米左右的细线.
考点一　教材原型实验
例1 　(2019·山东济南市调研)实验小组的同学们用如图3所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验.

图3
(1)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)l及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________.(用l、n、t表示)
(2)实验时除用到停表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的________.(填选项前的字母)
A.长约1 m的细线
B.长约1 m的橡皮绳
C.直径约1 cm的均匀铁球
D.直径约10 cm的均匀木球
(3)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图4________中所示的固定方式.

图4
(4)某实验小组组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图5所示，这样做的目的是________.(填选项前的字母)

图5
A.保持摆动过程中摆长不变
B.可使周期测量得更加准确
C.需要改变摆长时便于调节
D.保证摆球在同一竖直平面内摆动
(5)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺量得从悬点到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图6所示，则该摆球的直径为______ mm.

图6
(6)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是________.(填选项前的字母)
A.测出摆线长作为单摆的摆长
B.把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C.在摆球经过平衡位置时开始计时
D.用停表测量摆球完成一次全振动所用时间并作为单摆的周期
(7)甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图7所示的图象，但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量.你认为横坐标所代表的物理量是________(填“l2”“l”或“l”)，若图线斜率为k，则重力加速度g＝________(用k表示).

图7

(8)乙同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是________.(填选项前的字母)
A.开始摆动时振幅较小
B.开始计时时，过早按下停表
C.测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间
D.测量摆长时，以悬点到小球下端边缘的距离为摆长
答案　(1)4π2n2lt2　(2)AC　(3)乙　(4)AC　(5)12.0　(6)BC　(7)l　4π2k2　(8)CD
解析　(1)单摆的周期T＝tn，由单摆周期公式T＝2πlg得重力加速度g＝4π2lT2＝4π2n2lt2.
(2)为了便于测量周期和减小空气阻力，摆线选择较细且结实的线，故选A；为了减小空气阻力的影响，摆球选择质量大体积小的，故选C.
(3)为了避免运动过程中摆长发生变化，悬点要固定，不能松动，则选图乙.
(4)这样做的目的是便于调节摆长，把摆线夹得更紧一些，使摆动过程中摆长不变，因此A、C正确.
(5)摆球的直径为d＝12.0 mm.
(6)摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，A错误；将停表测量摆球完成一次全振动所用时间作为单摆的周期，误差较大，应采用累积法测量周期，D错误.
(7)根据单摆周期公式T＝2πlg＝2πg l，所以应该作出T－l图象，故横坐标所代表的物理量是l，斜率k＝2πg，解得g＝4π2k2.
(8)由周期公式T＝2πlg，得g＝4π2lT2，单摆振幅大小与g无关，故A错误；开始计时时，过早按下停表，周期偏大，则g偏小，故B错误；测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间，周期偏小，则g偏大，故C正确；摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，若测量摆长时以悬点到小球下端边缘的距离为摆长，摆长偏大，由g＝4π2lT2，所以g偏大，故D正确.

(2020·银川宁夏大学附属中学高三月考)某同学在“用单摆测重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
(1)用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径如图8甲所示，摆球直径为________cm，把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长l0，通过计算得到摆长L.


图8
(2)用停表测量单摆的周期.当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时停表的示数如图乙所示，该单摆的周期T＝________s(结果保留三位有效数字).
(3)测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2－L图象如图丙，造成图线不过坐标原点的原因可能是________.
A.摆球的振幅过小 B.将l0计为摆长L
C.将(l0＋d)计为摆长L D.摆球质量过大
(4)该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度.他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度ΔL，再测出其振动周期T2.用该同学测出的物理量表示重力加速度为g＝________.
答案　(1)2.06　(2)2.25　(3)B　(4)4π2ΔLT12－T22
解析　(1)由题图甲可知，游标卡尺示数为20 mm＋0.1×6 mm＝20.6 mm＝2.06 cm；
(2)由题图乙可知，停表示数为t＝1 min＋7.4 s＝67.4 s，单摆的周期T＝tn＝67.4602 s≈2.25 s
(3)题图丙图线不通过坐标原点，将图线向右平移1 cm就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小1 cm，可能是测摆长时漏掉了摆球的半径，故选B.
(4)根据题意，由单摆周期公式T＝2πLg，可得T1＝2πLg，T2＝2πL－ΔLg，联立可得g＝4π2ΔLT12－T22.

考点二　拓展创新实验
例2 　(2020·山东菏泽市调研)在探究单摆运动的实验中：
(1)图9(a)是用力传感器对单摆振动过程进行测量的装置图，图(b)是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图象，根据图(b)的信息可得，从t＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为________s，摆长为________m(取π2＝10，重力加速度大小g＝10 m/s2).

图9
(2)单摆振动的回复力是________.
A.摆球所受的重力
B.摆球重力在垂直摆线方向上的分力
C.摆线对摆球的拉力
D.摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力
(3)某同学的操作步骤如下，其中正确的是________.
A.取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
B.用米尺量得细线长度l，测得摆长为l
C.在摆线偏离竖直方向5°位置静止释放小球
D.让小球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度
答案　(1)0.5　0.64　(2)B　(3)AC
解析　(1)根据题图(b)的信息可得，摆球第一次摆到最低点时，力传感器显示的力最大，所对应的时刻为t＝0.5 s.根据题图(b)的信息可得，单摆周期T＝1.6 s，由单摆周期公式T＝2πlg，解得摆长为l＝0.64 m.
(2)单摆振动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，而摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力在径向上提供向心力，选项B正确.
(3)测得摆长应为l＋d2，选项B错误；若让小球在水平面内做圆周运动，则为圆锥摆运动，测得的摆动周期不是单摆运动周期，选项D错误.


例3 　在“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验中，摆球在垂直纸面的平面内摆动.如图10甲所示，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻.光敏电阻(光照时电阻比较小)与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为________.若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”“不变”或“变小”).


图10
答案　2t0　变大
解析　单摆在一个周期内两次经过平衡位置，每次经过平衡位置，单摆会挡住细激光束，从R－t图线可知周期为2t0.摆长等于摆线的长度加上小球的半径，根据单摆的周期公式T＝2πlg，摆长变大，所以周期变大.