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专题03 斜面模型
目录
【模型一】 斜面上物体静摩擦力突变模型 1
【模型二】 斜面体静摩擦力有无模型 6
【模型三】 物体在斜面上自由运动的性质 14
【模型四】斜面模型的衍生模型----“等时圆”模型 22
1.“光滑斜面”模型常用结论 22
2.“等时圆”模型及其等时性的证明 22
【模型五】功能关系中的斜面模型 27
1.物体在斜面上摩擦力做功的特点 27
2.动能变化量与机械能变化量的区别 27

【模型一】 斜面上物体静摩擦力突变模型
【模型构建】1.如图所示，一个质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上。


1.试分析m受摩擦力的大小和方向
【解析】：假设斜面光滑，那么物体将在重力和斜面支持力的作用下沿斜面下滑。说明物体有沿斜面向下运动的趋势，物体一定受到沿斜面向上的静摩擦力作用。由平衡条件易得：
2.若斜面上放置的物体沿着斜面匀速下滑时，判断地面对静止斜面有无摩擦力。
【解析】：因地面对斜面的摩擦力只可能在水平方向，只需考查斜面体水平方向合力是否为零即可。斜面所受各力中在水平方向有分量的只有物体A对斜面的压力N和摩擦力f。若设物体A的质量为m，则N和f的水平分量分别为
，方向向右，，方向向左。
可见斜面在水平方向所受合力为零。无左右运动的趋势，地面对斜面无摩擦力作用。
3.如图，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上。若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定的范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2（F2>0）。

设斜面倾角为θ，斜面对物块的静摩擦力为f。
(1)当时斜面对物块无静摩擦力
(2)当时物块有相对于斜面向上运动的趋势静摩擦力方向向下平衡方程为：
随着F的增大静摩擦力增大，当静摩擦力达到最大值时外力F取最大值F1时，由平衡条件可得：F1=f+mgsinθ---------------------(1)；
(3).当时物块有相对于斜面向下运动的趋势静摩擦力方向向上平衡方程为：
随着F的增大静摩擦力减小当静摩擦力减小为0时突变为(2)中的情形，随着F的减小静摩擦力增大，当静摩擦力达到最大值时外力F取最小值F2时，由平衡条件可得：f+F2= mgsinθ------------------------(2)；
联立(1)(2)解得物块与斜面的最大静摩擦力f=( F2-F1)/2.
【模型演练1】(2019·高考全国卷Ⅰ)如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N.另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°.已知M始终保持静止，则在此过程中(　　)

A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【答案】BD
【解析】　对N进行受力分析如图所示

因为N的重力与水平拉力F的合力和细绳的拉力T是一对平衡力，从图中可以看出水平拉力的大小逐渐增大，细绳的拉力也一直增大，A错误，B正确；M的质量与N的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为θ，若mNg≥mMgsin θ，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若mNg 【模型演练2】(2020·湖北一轮检测)如图，小球C置于B物体的光滑半球形凹槽内，B放在长木板A上，整个装置处于静止状态。现缓慢减小木板的倾角θ。在这个过程中，下列说法正确的是(　　)

A．B对A的摩擦力逐渐变大 B．B对A的作用力逐渐变小
C．B对A的压力不变 D．C对B的压力不变
【答案】D
【解析】对B、C整体受力分析，受重力mg、斜面A的支持力N和摩擦力f，由平衡条件得知N＝mgcos θ，f＝mgsin θ，缓慢减小木板的倾角θ，N增大，f减小，由牛顿第三定律得知B对A的摩擦力逐渐减小，B对A的压力增大。根据平衡条件可知A对B的作用力与B和C的重力大小相等，方向相反，所以A对B的作用力不变，根据牛顿第三定律得知B对A的作用力不变，故A、B、C错误。由于半球形凹槽光滑，小球只受两个力：重力和支持力，由平衡条件可知，支持力与重力大小相等，保持不变，则C对B的压力也保持不变，故D正确。
【模型演练3】（2021·广东佛山市·佛山一中高一月考）如图所示，物体A静止在倾角为30°的斜面体上，现保持斜面体质量不变，将斜面倾角由30°缓慢增大到37°的过程中，两物体仍保持静止，则下列说法中正确的是（ ）

A．A对斜面体的压力减小
B．斜面体对A的摩擦力增大
C．地面对斜面体的支持力减小
D．地面对斜面体的摩擦力增大
【答案】AB
【解析】A．设斜面的倾角为α，物体A的重力为G，作出A的受力如图

根据平衡条件得：
N = Gcosα
f = mgsinα
当斜面倾角α由30°增大到37°时，cosα减小，则N减小，根据牛顿第三定律得知，A对斜面的压力大小减小，A正确；
B．当斜面倾角α由30°增大到37°时，sinα增大，则f增大，B正确；
CD．把两物体看作一个整体，整体只受重力和地面的支持力，不受地面的摩擦力。且地面的支持力总是等于两物体重力之和，地面的摩擦力总是等于零，CD错误。故选AB。
【模型演练4】（2021·吉林省榆树一中高三上学期1月期末）如图所示，物体A、B的质量均为m，二者用细绳连接后跨过定滑轮，A静止在倾角θ=30°的斜面上，B悬挂着，且斜面上方的细绳与斜面平行。若将斜面倾角θ缓慢增大到45°，物体A仍保持静止，不计滑轮摩擦。则下列判断正确的是（ ）

A. 物体A对斜面的压力可能增大
B. 物体A受的静摩擦力一定减小
C. 物体A受的静摩擦力可能增大
D. 物体A受斜面的作用力一定减小
【答案】BD
【解析】A．物体A对斜面的压力为 ，倾角增大,压力减小，A错误；
BC．物体A受的静摩擦力分别为

A受的静摩擦力减小，B正确，C错误；
D．物体A始终静止，物体A受斜面的作用力始终等于重力与绳的拉力的合力，绳的拉力始终等于B的重力，其大小不变，两个分力大小不变，夹角增大，合力减小，D正确。故选BD。
【模型演练5】（2021·山西省长治市第二中学校高一月考）如图，楔形物块M固定在水平地面上，其斜面的倾角为。斜面上有一质量为m的小物块，小物块与斜面之间存在摩擦。用恒力F沿斜面向上拉小物块，使之匀速上滑，则m的受力示意图大致正确的是（ ）
A． B．

C． D．
【答案】B
【解析】对小物块进行受力分析，受到沿斜面向上的F，竖直向下的重力，处置斜面向上的支持力，因为物块想对斜面沿斜面向上运动，所欲物块受到斜面对它沿斜面向下的摩擦力。故选B。
【模型二】斜面体静摩擦力有无模型
【模型要点】1.质点系牛顿定律
加速度不同时整体法的应用，大多数情况下，当两物体加速度相同时才考虑整体法，加速度不同时，考虑隔离法。实际上加速度不同时，也可以用整体法，只是此时整体法的含义有所改变。当两个或两个以上物体以不同形式连接，构成一个系统，且系统内各物体加速度不相同时，牛顿第二定律照样能应用于整体。若质量为m1，m2，…，mn的物体组成系统，它们的加速度分别为a1，a2，…，an，牛顿第二定律可写为
或

其意义为系统受的合外力等于系统内的每一个物体受的合外力的矢量和，或某个方向上，系统受的合外力等于系统内的每一个物体在这个方向上受的合外力的矢量和。
2.自由释放的滑块能在斜面上匀速下滑时，m与M之间的动摩擦因数μ＝gtan θ．

3．自由释放的滑块在斜面上：
(1)静止或匀速下滑时，斜面M对水平地面的静摩擦力为零；
(2)加速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向右；
(3)减速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向左．
4．自由释放的滑块在斜面上匀速下滑时，M对水平地面的静摩擦力为零，这一过程中再在m上加上任何方向的作用力，(在m停止前)M对水平地面的静摩擦力依然为零．

5．悬挂有物体的小车在斜面上滑行：

(1)向下的加速度a＝gsin θ时，悬绳稳定时将垂直于斜面；
(2)向下的加速度a＞gsin θ时，悬绳稳定时将偏离垂直方向向上；
(3)向下的加速度a＜gsin θ时，悬绳将偏离垂直方向向下．
【模型演练1】（2021·安徽省皖西南八校高三上学期12月月考）如图所示，倾角为37°、质量为10kg的斜面体ABC静置于粗糙水平地面上，AB面光滑。质量为1kg的物块（视为质点）从AB面顶端A点由静止释放，斜面体始终保持静止，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则在物块下滑的过程中（　　）

A. 物块的加速度大小为5m/s2
B. 物块对斜面体的压力大小为6N
C. 地面对斜面体的摩擦力大小等于4.8N
D. 斜面体对地面的压力大小为110N
【答案】C
【解析】
A．物块的加速度大小为选项A错误；
B．物块对斜面体的压力大小为选项B错误；
CD．对物块和斜面体的整体，水平方向
即地面对斜面体的摩擦力大小等于4.8N；
竖直方向
解得FN=106.4N即斜面体对地面的压力大小为106.4N，选项C正确，D错误。故选C。
【模型演练2】（2021·吉林省榆树一中高三上学期1月期末）如图所示，一个小球用不可伸长的轻绳悬挂在小车上，随小车沿着倾角为的斜面一起下滑，图中的虚线①与斜面垂直，②沿水平方向，③沿竖直方向，则可判断出（　　）

A. 如果斜面光滑，则摆线与②重合
B. 如果斜面光滑，则摆线与③重合
C. 如果斜面光滑，则摆线与①重合
D. 如果斜面不光滑，则摆线与②重合
【答案】C
【解析】
如果斜面光滑，根据牛顿第二定律得：对整体：加速度
方向沿斜面向下，对小球合力
则摆线必定与斜面垂直，即摆线与①重合；
如果斜面粗糙能下滑则μ＜tanθ，以整体为研究对象，根据牛顿第二定律得，加速度

由于μ＜tanθ，则μcosθ＜sinθ
a＞0说明加速度方向沿斜面向下，而且a＜gsinθ
因当a=0时摆线位于位置③，斜面光滑时摆线位移位置①，可知斜面粗糙时摆线位于①与③之间．故ABD错误，C正确；故选C。
【模型演练3】．（2021·湖南省长郡中学师大附中长沙一中联合体高三上学期12月月考）如图所示，斜劈A静止放置在水平地面上。质量为的物体B以一定的初速度沿斜面减速下滑。现突然对B施加一水平向左的力，斜劈A始终静止，则对B施加力后，下列说法中正确的是（　　）

A. 物体B的加速度变大
B. 地面対A的摩擦力变大，方向水平向左
C. 地面对A的摩擦力减小，方向水平向左
D. 地面对A无摩擦力
【答案】AB
【解析】
A．对物块B，没有施加水平恒力F之前，沿斜面根据牛顿第二定律有

垂直于斜面方向有
施加水平恒力F之后，沿斜面根据牛顿第二定律有
垂直于斜面方向有
联立解得

故A正确；BCD．将A、B视为整体研究对象，对整体，在没有水平拉力F之前，整体在水平方向根据牛顿第二定律有施加水平拉力F后，整体在水平方向根据牛顿第二定律有可知即地面对A的摩擦力增大，故B正确，CD错误。故选AB。

【模型演练4】（2021·江西高三月考）如图所示，在倾角为的光滑斜面上，一质量为2m的小车在沿斜面向下的力F作用下沿斜面下滑，在小车下滑的过程中，小车支架上连接着小球（质量为3m）的轻绳恰好水平。则外力F的大小为（　　）（已知重力加速度为g）

A．5mg B．7.5mg C．4.5mg D．3.5mg
【答案】B
【解析】以小球为研究对象，分析受力情况可知，重力3mg、绳的拉力T，小球的加速度方向沿斜面向下，则3mg和T的合力定沿斜面向下，如图

由牛顿第二定律得
解得
再对整体根据牛顿第二定律可得
解得故选B。
【模型演练5】（2021·江西省六校高三上学期1月月考）如图所示，倾角为θ的斜面放在粗糙的水平地面上，现有一带固定支架的滑块M正沿斜面加速下滑。支架上用细线悬挂质量为m的小球达到稳定(与滑块相对静止)后，悬线的方向与竖直方向的夹角也为θ，斜面体始终保持静止，则下列说法正确的是(　　)

A. 斜面光滑
B. 斜面粗糙
C. 达到稳定状态后，地面对斜面体的摩擦力水平向左
D. 达到稳定状态后，地面对斜面体的摩擦力水平向右
【答案】AC
【解析】
AB．如果斜面光滑，根据牛顿第二定律得；对整体，加速度
方向沿斜面向下，对小球，合力F合=ma=mgsinθ则摆线必定与斜面垂直，故A正确，B错误；
CD．小球的加速度和整体的加速度相同，对整体，加速度有水平向左的分量，合力水平向左，根据牛顿第二定律，地面对斜面体的摩擦力水平向左，故C正确，D错误。
故选AC。
【模型演练6】(2020·广西桂林市、贺州市、崇左市3月联合调研)如图所示，固定在水平面上的斜面体C上放有一个斜劈A，A的上表面水平且放有物块B.若AB运动过程中始终保持相对静止．以下说法正确的是(　　)

A．若C斜面光滑，A和B由静止释放，在向下运动时，B物块可能只受两个力作用
B．若C斜面光滑，A和B以一定的初速度沿斜面减速上滑，则B处于超重状态
C．若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面减速上滑，则B受水平向左的摩擦力
D．若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面加速下滑，则B处于超重状态
【答案】　C
【解析】　若C斜面光滑，A和B由静止释放，在向下运动时，整体加速度方向沿斜面向下，如图：

可知，B受到重力、支持力和水平向左的摩擦力共三个力作用，故选项A错误；若C斜面光滑，A和B以一定的初速度沿斜面减速上滑，则整体加速度方向如图所示，此时B具有竖直向下的分加速度，即处于失重状态，故选项B错误；若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面减速上滑，则整体加速度方向如图所示，由于B具有水平向左的分加速度，则根据牛顿第二定律可知B受水平向左的摩擦力，故选项C正确；若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面加速下滑，则整体加速度方向如图所示，此时B具有竖直向下的分加速度，即处于失重状态，故选项D错误．
【模型三】 物体在斜面上自由运动的性质
斜面模型是高中物理中最常见的模型之一，斜面问题千变万化，斜面既可能光滑，也可能粗糙；既可能固定，也可能运动，运动又分匀速和变速；斜面上的物体既可以左右相连，也可以上下叠加。物体之间可以细绳相连，也可以弹簧相连。求解斜面问题，能否做好斜面上物体的受力分析，尤其是斜面对物体的作用力（弹力和摩擦力）是解决问题的关键。

对沿粗糙斜面自由下滑的物体做受力分析，物体受重力、支持力、动摩擦力，由于支持力，则动摩擦力，而重力平行斜面向下的分力为，所以当时，物体沿斜面匀速下滑，由此得，亦即。
1.所以物体在斜面上自由运动的性质只取决于摩擦系数和斜面倾角的关系。
当时，物体沿斜面加速速下滑，加速度；
当时，物体沿斜面匀速下滑，或恰好静止；
当时，物体若无初速度将静止于斜面上；
2.对于光滑斜面无论物体下滑还是上滑加速度大小均为：
3.对于粗糙斜面物体下滑过程加速度大小为：
上冲过程加速度大小为：
【模型演练1】(2020·河南郑州市中原联盟3月联考)如图所示，一倾角θ＝37°的足够长的斜面固定在水平地面上．当t＝0时，滑块以初速度v0＝10 m/s沿斜面向上运动．已知滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是(　　)

A．滑块一直做匀变速直线运动
B．t＝1 s时，滑块速度减为零，然后静止在斜面上
C．t＝2 s时，滑块恰好又回到出发点
D．t＝3 s时，滑块的速度大小为4 m/s
【答案】　D
【解析】　当滑块沿斜面向上运动时，做匀减速直线运动，加速度大小为a1＝＝10 m/s2，滑块沿斜面向上运动的时间为t1＝＝1 s，由于mgsin θ
>μmgcos θ，所以当滑块沿斜面向上速度减为0时，不会静止在斜面上，会继续沿斜面向下做匀加速直线运动，加速度大小为a2＝＝2 m/s2，所以滑块不是一直做匀变速直线运动，A、B选项错误；滑块上滑时的位移为x＝a1t12＝5 m，沿斜面向下运动回到出发点的时间为t2＝＝ s，C选项错误；3 s时滑块的速度大小为v＝a2t3＝2×(3－1)m/s＝4 m/s，D选项正确．
【模型演练2】(多选)(2020·河南六市4月联考)如图所示，a、b小球均能沿各自斜轨道匀速下滑到竖直圆的最低点，现分别让小球a、b以va、vb的速度沿各自轨道从最低点同时向上滑动，两小球速度同时减小到0，重力加速度为g，轨道与圆在同一竖直面内，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　)

A．a、b小球与斜面间的动摩擦因数之比μa∶μb＝9∶16
B．a、b小球沿斜面向上运动的加速度之比aa∶ab＝4∶3
C．va∶vb＝4∶3
D．两小球不可能同时达到圆周上
【答案】　BC
【解析】　a、b小球均能沿各自斜轨道匀速下滑，则对a：mgcos 37°＝μamgsin 37°；对b：mgcos 53°
＝μbmgsin 53°，则μa∶μb＝16∶9，选项A错误；a、b小球沿斜面向上运动时，对a：mgcos 37°
＋μamgsin 37°＝maa，对b：mgcos 53°＋μbmgsin 53°＝mab，则aa∶ab＝4∶3，选项B正确；两球速度同时减为零，时间相等，则由v＝at可得va∶vb＝aa∶ab＝4∶3，选项C正确；因为两小球加速度之比aa∶ab＝4∶3，初速度之比va∶vb＝4∶3，由v＝v0－at可知，任意时刻的速度之比为4∶3，则两小球的平均速度之比为4∶3；而两球到达圆周上时位移之比也为4∶3，可知两小球能够同时到达圆周上，选项D错误．
【模型演练3】.(2020·安徽十校联盟检测)如图所示，质量为m＝1 kg的物块放在倾角为θ＝37°的斜面底端A点，在沿斜面向上、大小为20 N的恒力F1的作用下，从静止开始沿斜面向上运动，运动到B点时撤去拉力F1，当物块运动到C点时速度恰为零，物块向上加速的时间与减速的时间均为2 s．物块运动到C点后，再对物块施加一平行于斜面的拉力F2，使物块从C点运动到A点的时间与从A点运动到C点的时间相等．已知斜面足够长，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

(1)物块与斜面间的动摩擦因数；
(2)拉力F2的大小和方向．
【答案】　(1)0.5 (2)3 N　方向平行斜面向下
【解析】　(1)设物块向上做加速运动的加速度大小为a1，
根据牛顿第二定律有：F1－mgsin θ－μmgcos θ＝ma1
撤去拉力F1后，物块做匀减速运动，设运动的加速度大小为a2
根据牛顿第二定律有：μmgcos θ＋mgsin θ＝ma2
由于物块向上加速的时间与减速的时间相等，
即：a1t＝a2t
联立解得：μ＝0.5
(2)物块向上运动时，a1＝a2＝10 m/s2，
物块从A到C运动的距离：
x＝2×a1t2＝40 m
从C点施加平行于斜面的拉力后，根据牛顿第二定律有：
F2＋mgsin θ－μmgcos θ＝ma3
由运动学公式：x＝a3(2t)2
解得：a3＝5 m/s2，F2＝3 N
可知F2方向平行斜面向下．
【模型演练4】(多选)(2020·天津市普通高中学业水平等级考试，8)如图(a)，一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v ­t图线如图(b)所示．若重力加
速度及图中的v0、v1、t1均为已知量，则可求出 (　　)

A．斜面的倾角 B．物块的质量
C．物块与斜面间的动摩擦因数 D．物块沿斜面向上滑行的最大高度
【答案】ACD
【解析】：根据牛顿第二定律，向上滑行过程＝gsin θ＋μgcos θ，向下滑行过程＝gsin θ－μgcos θ，整理可得gsin θ＝，从而可计算出斜面的倾斜角度θ以及动摩擦因数，选项A、C对．小球滑上斜面的初速度v0已知，向上滑行过程为匀变速直线运动，末速度0，那么平均速度即，所以沿