下载地址

资源介绍

专题3 带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题
一、单项选择题
1．如图所示，a、b为竖直正对放置的平行金属板构成的偏转电场，其中a板带正电，两板间的电压为U，在金属板下方存在一有界的匀强磁场，磁场的上边界为与两金属板下端重合的水平面PQ，PQ下方的磁场范围足够大，磁场的磁感应强度大小为B，一比荷为带正电粒子以速度为v0从两板中间位置与a、b平等方向射入偏转电场，不计粒子重力，粒子通过偏转电场后从PQ边界上的M点进入磁场，运动一段时间后又从PQ边界上的N点射出磁场，设M、N两点距离为x（M、N点图中未画出）。则以下说法中正确的是

A．只减小磁感应强度B的大小，则x减小
B．只增大初速度v0的大小，则x减小
C．只减小偏转电场的电压U的大小，则x不变
D．只减小为带电粒子的比荷大小，则x不变
【答案】C
【解析】粒子进入磁场后，做匀速圆周运动，由半径公式，可知，因减小磁感应强度B的大小，导致半径增大，则x也增大，故A错误；增大初速度v0的大小，则导致进入磁场的速度增大，由半径公式，可知，导致半径增大，则x也增大，故B错误；减小偏转电场的电压U的大小，设速度与磁场边界的夹角为θ，则由半径公式，结合几何关系，可得：x=2Rsinθ=，则会导致x不变，故C正确；若减小为带电粒子的比荷大小，由半径公式可知，则会导致半径增大，则x也增大，故D错误；故选C。
2．（2021·河南鹤壁市·鹤壁高中高二月考）如图所示，有一范围足够大的水平匀强磁场，磁感应强度为B，一个质量为m、电荷量为+q的带电小圆环套在一根固定的绝缘倾斜长杆上，环与杆间的动摩擦因数为μ。现使圆环以初速度v0沿杆向上运动。不计空物气阻力。下列描述该圆环上升过程中的速度v随时间t、机械能E随位移x变化的图像中，可能正确的是（　　）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】AB．把带电小圆环的重力沿杆和垂直杆分解得，由左手定则知带电圆环受洛仑兹力垂直杆向上，带电小圆环上滑的过程中由于阻力的作用v越来越小。若则



由以上三式可得此时带电圆环做加速度增大的减速运动；若，随着v的不断减小则先有

后有

即带电圆环先做加速度减小的减速运动然后再做加速度增大的减速运动；又因速度时间图像的斜率表示加速度。故AB错误；
CD．小球运动的过程中洛仑兹力不做功，摩擦力做功使小球的机械能减小，向上运动的过程中有

据以上分析向上运动的过程中f可能逐渐增大，所以机械能的变化率逐渐增大；f也可能先减小后增大，所以机械能的变化率也先减小后增大；故C正确D错误。
故选C。
3．（2020·衡水第一中学高三月考）如图所示，圆形区域直径MN上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小相同。现有两个比荷相同的带电粒子a、b，分别以、的速度沿图示方向垂直磁场方向从M点入射，最终都从N点离开磁场，则（　　）

A．粒子a、b可能带异种电荷
B．粒子a从N点离开磁场时的速度方向一定与初速度的方向垂直
C．可能为2:1
D．一定为1:1
【答案】C
【解析】A．两粒子都从M点入射从N点出射，则a粒子向下偏转，b粒子向上偏转，由左手定则可知两粒子均带正电，故A错误；
B．设磁场半径为R，将MN当成磁场的边界，两粒子均与边界成45°入射，由运动对称性可知出射时与边界成45°，则一次偏转穿过MN时速度偏转90°；同理第二次穿过MN时速度方向再次偏转90°与初速度方向平行，选项B错误；
CD．两粒子可以围绕MN重复穿越，运动有周期性，设a粒子重复k次穿过MN，b粒子重复n次穿过MN，由几何关系可知
()
()
由洛伦兹力提供向心力

可得

而两个粒子的比荷相同，可知

如，时

如，时

则v1:v2可能为1:1或2:1，故C正确，D错误。
故选C。
4．（2019·河北保定市·安国中学）M、N两板相距为d，板长为5d，两板不带电，板间有垂直于纸面的匀强磁场，如图所示，一大群电子沿平行于板的方向从各处位置以速度v射入板间，为了使电子都不从板间穿出，磁感应强度Ｂ的范围（ ）（设电子电量为e，质量为m）

A．B B．或 C． D．或
【答案】A
【解析】
由图示可知，靠近M板进入磁场的电子刚好打到N板右边缘，对应的磁感应强度有最小值B1，设此时轨道半径为R1，由牛顿第二定律得：

由几何关系得：

解得：

靠近M板进入磁场的电子刚好打到N板左边缘，对应的磁感应强度有最大值B2，此时轨道半径为R2，由牛顿第二定律：

由几何关系得：

解得：

综上所述，磁感应强度B的范围为：

A正确。
故选A。
5．如图所示，边长为l0的正方形区域内（包括边界）存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在点处有一粒子源，能够沿方向发射质量为、电荷量为的粒子，粒子射出的速率大小不同。粒子的重力忽略不计，不考虑粒子之间的相互作用，则（ ）

A．轨迹不同的粒子，在磁场中运动时间一定不同
B．从点射出的粒子入射速度大小为
C．从点射出的粒子在磁场中运动的时间为
D．粒子在边界上出射点距点越远，在磁场中运动的时间越短
【答案】C
【解析】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力：

解得半径：
粒子运动的周期：

设粒子在磁场中转过的圆心角为，粒子在磁场中的运动时间：

粒子速率不同运动轨迹不同，如果转过的圆心角相等，则粒子在磁场中的运动时间相等，如从ad边离开磁场的粒子在磁场中转过半个圆周，虽然运动轨迹不同，但运动时间都相同，为，A错误；
B．从c点飞出的粒子半径：

解得速度：，B错误；
C．从d点飞出的粒子运动时间为半个周期：

C正确；
D．根据C选项的分析可知，粒子从a点射入，从ad边飞出，所用时间均为半个周期，因此粒子在边界上出射点距a点越远，在磁场中运动的时间不一定越短，D错误。
故选C。
6．（2021·安徽高三月考）、两个带正电的粒子经同一电场由静止加速，先后以、从点沿进入矩形匀强磁场区域，经磁场偏转后分别从边、离开。直线、与的夹角分别为、，粒子的重力不计，则两个粒子进入磁场运动的速度大小之比为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】a、b两个带正电的粒子在磁场中的运动轨迹如图

设a粒子的轨道半径为R1，b粒子的轨道半径为R2，设MQ=d，则几何关系得
，
由上两式得

设加速电场的电压为U，匀强磁场磁感应强度为B，有
，
得

则有

故ACD错误，B正确。
故选B。
7.如图为一粒子速度选择器原理示意图。半径为10cm的圆柱形桶内有一匀强磁场，磁感应强度大小为1.0×10-4T，方向平行于轴线向内，圆桶的某直径两端开有小孔，粒子束以不同角度由小孔入射，将以不同速度从另一个孔射出。有一粒子源发射出速度连续分布、比荷为2.0×1011C/kg的带负电粒子，粒子间相互作用及重力均不计，当粒子的入射角为时，则粒子出射的速度大小为(　　)

A．2×106m/s B．106m/s C．m/s D．4×106m/s
【答案】D
【解析】粒子运动的轨迹如图

若θ=30°，则α=60°
可知粒子运动的轨道半径为
r=2R=0.2m
由于

解得

故D正确，ABC错误。
故选D。
8．如图所示，一个理想边界为PQ、MN 的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里．—电子从Ｏ点沿纸面垂直边界pq以速度进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为在,O'点在MN上，且OO'与MN垂直．则下列判断正确的是

A．电子将向右偏转
B．电子打在MN上的点与O'点的距离为d
C．电子打在MN上的点与O'点的距离为
D．电子在磁场中运动的时间为
【答案】D
【解析】A．电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，A错误；


BC．设电子打在MN上的点与O′点的距离为x，则由几何知识得

故BC错误；
D．设轨迹对应的圆心角为θ，由几何知识得

得 ．则电子在磁场中运动的时间为

故D正确。
故选D。

二、多项选择题
9．如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A＝60°，AO＝a．在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电的粒子，粒子的比荷为，发射速度大小都为v0，且满足，发射方向用图中的角度θ表示．对于粒子进入磁场后的运动（不计重力作用），下列说法正确的是

A．粒子不可能打到A点
B．以θ＝0°和θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间相等
C．以θ＜30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等
D．在AC边界上只有一半区域有粒子射出
【答案】BD
【解析】由牛顿第二定律得：，已知：，解得：R＝a，因此当θ＝60°入射时，粒子恰好从A点飞出，故A错误；当θ＝0°飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从AC中点飞出，在磁场中运动时间也恰好是，当θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间恰好是，故B正确；当θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间恰好是，是在磁场中运动时间最长，故B正确；由上可知θ从0°到60°在磁场中运动时间先减小后增大，故C错误；当θ＝0°飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从AC中点飞出，因此在AC 边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确．
10．（2021·江西南昌市·高三月考）如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外，P（-L，0）、Q（0，-L）为坐标轴上的两点。现有一质量为m、电荷量为e的电子从P点沿PQ方向射出，不计电子的重力，则下列说法中正确的是（　　）

A．若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动时间可能为
B．若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动路程可能为
C．若电子从P点出发经原点O到达Q点，运动时间一定为
D．若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，运动路程可能为πL或2πL
【答案】ABD
【解析】
A．电子在磁场中做圆周运动，电子从P点到Q点，电子在每个磁场中转过的圆心角都是，电子的运动轨迹可能如图1或图2所示，电子在磁场中的运动周期为

则电子从P点出发恰好第一次经原点O点的时间为

所以若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动时间可能为，则A正确；
B．电子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系可得

电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动路程为

当n=1时

所以若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动路程可能为，则B正确；
C．电子从P点出发经原点O到达Q点，运动时间为

所以若电子从P点出发经原点O到达Q点，运动时间可能为，则C错误；
D．按图（1）电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，运动路程为

其中 当n=1时

按图（2）电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，运动路程为

其中 当n=1时

所以若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，运动路程可能为2πL，也可能是 则D正确；
故选ABD
11．如图所示，P、Q为一对平行板，板长与板间距离均为d，板间区域内充满匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q的粒子（重力不计），以水平初速度从P、Q两板间左侧中央沿垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则初速度大小可能为（　　）

A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】若粒子恰好打到板左端，由几何关系可得

由洛伦兹力作为向心力关系可得

可解得
若粒子恰好打到板右端，由几何关系可得

解得
由洛伦兹力作为向心力关系可得

可解得
粒子打到板上，则初速度v大小范围是

故选BC。
12．在科学研究中，可以通过施加适当的磁场来实现对带电粒子运动的控制。在如图所示的平面坐标系xOy内，以坐标原点O为圆心，半径为d的圆形区域外存在范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为+q的粒子从P（0，）点沿y轴正方向射入磁场，当入射速度为v0时，粒子从a（，）处进入无场区射向原点O，不计粒子重力。则（　　）

A．磁场的磁感应强度为
B．粒子再次回到P点所用时间为
C．若仅将入射速度变为3v0，则粒子离开P点后在磁场中运动的半径为d
D．若仅将入射速度变为3v0，则粒子离开P点可以再回到P点
【答案】AD
【解析】A．粒子的运动轨迹如图所示

由题条件可判断粒子做圆周运动半径为R=d，粒子在磁场中：
，
故A正确；
B．粒子运动轨迹如图示

粒子在磁场中运动时间：

因为洛伦兹力提供向心力

粒子在无场区运动时间：

粒子再次回到P点时间：
t=t1+t2
解得：

故B错误；
C．粒子速度变为3v0，则在磁场中运动半径为R′=3d，故C错误；
D．粒子运动轨迹如图所示

由P点出发后第一个圆弧的弧长：

无磁场区圆的直径长度：

①粒子以3v0沿y轴正向经过P，粒子运动路程
，其中k=0、1、2、3、…
②粒子以3v0大小沿-y方向经过P
s′=3s1+2s2+k（6s1+6s2 ），其中k=0、1、2、3、…
仅将入射速度变为3v0，则粒子离开P点可以再回到P点，故D正确；
故选AD。
三、非选择题
13．某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理图如图所示。装置的长L＝，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小相同、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d，装置右端有一收集板，N、P为板上的两点，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上。一质量为m、电荷量为-q的粒子静止在A处，经加速电场加速后，以速度v0沿图中的虚线从装置左端的中点O射入，方向与轴线成60°角。可以通过改变上下矩形区域内的磁场强弱（两磁场始终大小相同、方向相反），控制粒子到达收集板上的位置。不计粒子的重力。

（1）试求出加速电压U的大小；
（2）若粒子只经过上方的磁场区域一次，恰好到达收集板上的P点，求磁场区域的宽度h；
（3）欲使粒子经过上下两磁场并到达收集板上的N点，磁感应强度有多个可能的值，试求出其中的最小值B。
【答案】（1）（2） （3）
【解析】（1）由动能定理可知：
得： 。
（2）设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为r，依题意作出带电粒子的运动轨迹如下图所示。由图中几何关系有： ，


解得：
（3）当B为最小值时，粒子运动的轨道半径r则为最大值，即粒子只经过上方和下方的磁场区域各一次，恰好到达收集板上的N点。设带电粒子此时运动的轨道半径为，带电粒子的运动轨迹如下图所示。

由图中几何关系有：
根据牛顿第二定律和洛伦兹力大小公式有：
联立以上各式解得： 。
14.如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，水平轨道AB和斜面BC均光滑且绝缘，AB和BC的长度均为L，斜面BC与水平地面间的夹角θ=60°，有一质量为m、电量为+q的带电小球（可看成质点）被放在A点。已知在第一象限分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小，磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小为B；在第二象限分布着沿x轴正向的匀强电场，场强大小未知。现将放在A点的带电小球由静止释放，恰能到达C点，问
（1）分析说明小球在第一象限做什么运动；（2）小球运动到B点的速度；（3）第二象限内匀强电场的场强；


【答案】（1）匀速圆周运动，（2），（3）。
【解析】
（1）当带电小球进入第一象限后所受电场力为，即带电小球所受电场力与所受重力相平衡，小球所受合外力为洛伦兹力始终垂直与速度方向，故小球做匀速圆周运动；

（2）有几何关系可得：，又因，故有小球在B点速度为；
（3）在加速电场中，A到B过程使用动能定律：，代入 ，可得。
15.如图所示，在边长为L的正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B.在正方形对角线CE上有一点P，其到CF，CD距离均为 ，且在P点处有一个发射正离子的装置，能连续不断地向纸面内的各方向发射出速率不同的正离子．已知离子的质量为m，电荷量为q，不计离子重力及离子间相互作用力．

(1)速率在什么范围内的所有离子均不可能射出正方形区域？
(2)求速率为v＝的离子在DE边的射出点距离D点的范围．
【答案】(1) (2)
【解析】因离子以垂直于磁场的速度射入磁场，故其在洛伦兹力作用下必做圆周运动．
(1)依题意可知离子在正方形区域内做圆周运动不射出该区域，做圆周运动的半径为r≤ .
对离子，由牛顿第二定律有qvB＝m⇒
(2)当v＝时，设离子在磁场中做圆周运动的半径为R，
则由可得.
要使离子从DE射出，则其必不能从CD射出，其临界状态是离子轨迹与CD边相切，设切点与C点距离为x，其轨迹如图甲所示，

由几何关系得：
R2＝(x－ )2＋(R－ )2，
计算可得x＝L，
设此时DE边出射点与D点的距离为d1，则由几何关系有：(L－x)2＋(R－d1)2＝R2，
解得d1＝ .
而当离子轨迹与DE边相切时，离子必将从EF边射出，设此时切点与D点距离为d2，其轨迹如图乙所示，由几何关系有：

R2＝(L－R)2＋(d2－ )2，
解得d2＝
故速率为v＝的离子在DE边的射出点距离D点的范围为
16.如图所示，在屏蔽装置底部中心位置O点放一医用放射源，可通过细缝沿扇形区域向外辐射速率为v的带电粒子．已知屏蔽装置宽AB为d，缝长AD为2d，粒子的质量m，电荷量为+q．若在屏蔽装置右侧条形区域内加一匀强磁场来隔离辐射，磁感应强度B，方向垂直于纸面向里，整个装置放于真空环境中．
(1)若所有的粒子均不能从条形磁场隔离区的右侧穿出，则磁场的宽度D至少是多少？
(2)若条形磁场的宽度D＝，则射出屏蔽装置的粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间各是多少？

【答案】(1) (2)
【解析】(1)根据

得:

如图甲所示，根据几何关系可得，这些粒子在磁场中运动的最宽处宽度为

所以


(2)根据：

得：

如图乙所示，根据几何关系可得，粒子在磁场中运动的时间最短时，弦长最短即为磁场宽度，分析可得此时圆心角

所以

当时间最长时，弧长最长，此时轨迹与右侧边界相切，由几何关系可得此时圆心角

所以


17．如图所示，在xOy平面内以O为圆心、R0为半径的圆形区域Ⅰ内有垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子以速度v0从A（R0，0）点沿x轴负方向射入区域Ⅰ，经过P（0，R0）点，沿y轴正方向进入同心环形区域Ⅱ，为使粒子经过区域Ⅱ后能从Q点回到区域Ⅰ，需在区域Ⅱ内加一垂直于纸面向里的匀强磁场。已知OQ与x轴负方向成角，不计粒子重力。求：
(1)区域Ⅰ中磁感应强度B0的大小；
(2)环形区域Ⅱ的外圆半径R至少为多大；
(3)粒子从A点出发到再次经过A点所用的最短时间。

【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)设在区域Ⅰ内轨迹圆半径为r1，由图中几何关系可得

由牛顿第二定律可得

解得

(2)设粒子在区域Ⅱ中的轨迹圆半径为r2，部分轨迹如图所示，有几何关系知

由几何关系得

即

(3)当粒子由内侧劣弧经过A点时，应满足

当m=4时，n=9时间最短


最小时间为


18．（2021·山东广饶一中高三月考）在真空室内取坐标系，在x轴上方存在二个方向都垂直于纸面向外的磁场区域Ⅰ和Ⅱ（如图），平行于x轴的直线和是区域的边界线，两个区域在y方向上的宽度都为d、在x方向上都足够长．Ⅰ区和Ⅱ区内分别充满磁感应强度为B和的匀强磁场，边界上装有足够长的平面感光板．一质量为m、电荷量为的带电粒子，从坐标原点O以大小为v的速度沿y轴正方向射入Ⅰ区的磁场中．不计粒子的重力作用。
(1)粒子射入的速度v大小满足什么条件时可使粒子只在Ⅰ区内运动而不会进入Ⅱ区；
(2)粒子射入的速度v大小满足什么条件时可使粒子击中上的感光板。

【答案】(1)；(2)
【解析】(1)粒子在Ⅰ区内做匀速圆周运动，有

得粒子运动的轨道半径

粒子只在Ⅰ区内运动而不会进入Ⅱ区，则

解得速度v满足的条件

(2)粒子在Ⅱ区内做匀速圆周运动，有

得粒子运动的轨道半径

粒子恰好能运动到感光板的运动情况如图所示

粒子在Ⅰ区中运动的圆心为A1、在Ⅱ区中运动的圆心为A2，在图中△A1CD相似于△CA2E，因此

即

解得


因此，要使粒子击中感光板，粒子射入的速度应满足