求解答一般状况下的麦克斯韦方程组之法是什么？把电磁场呈现为电磁势有啥意义？9月4日12时，《张朝阳的物理课》第八十二期开始播放，搜狐的创始人、董事局主席兼CEO张朝阳在搜狐视频直播间主持，先是跟网友探讨把电磁场表示成电磁势的意义，接着借助简易的解方程办法以及散度定理求出静电荷产生的静电势。随后，开始讨论一般的情况，这情况是在洛伦兹规范之下，要把麦克斯韦方程组借助电磁势给表示出来，之后发现，电势跟磁矢势所满足的方程，其形式是相同的，最后，通过跟静电势求解方法相类似的方式，解出电磁势关于电荷电流密度的表达式。
求解静态情况下的电势
课程刚开始的时候，张朝阳率先去讲解电磁势之于理论架构起着怎样的作用。就如同下面所呈现的图示那样，第一层楼涵盖的是电势以及磁矢势，第二层楼是电磁场，它是依靠第一层楼来进行时空偏导从而获得的，而第三层楼的那些物理量却是由第二层楼去进行时空偏导才得到的。第二楼的电磁场属于实际能够被观测到的量，第三楼所对应的是更为具体且综合了的物理量，像是电场的散度啦，磁场的旋度之类的。并且，第一楼的电磁势现阶段虽不存在物理意义（后续更高级的理论会具备物理意义），然而，一层楼的物理量不仅数量显得少，而且，它们能够推引出二楼以及三楼的物理量，另外，凭借它们去构建理论体系之际还拥有诸多优势。
张朝阳讲解电磁势在理论架构中的作用
那关于电磁场的麦克斯韦方程组，是在二楼以及三楼的层面之上给写出来的，要是把麦克斯韦方程组在一楼层面那儿给写出来，就会发觉它有着更为优美简洁的形式，并且还会更加容易去求解，甚至，还能够看出电磁理论关于坐标系变换的协变性。所以说，是很有必要去研究麦克斯韦方程组在一楼的表达情况的，而最简单的理解方式，就是先得从静态麦克斯韦方程组开始着手，在熟悉了一些物理量之间的联系以后，再进一步去研究动态的麦克斯韦方程组。
上节课里，张朝阳已然求解得出静态的、关于电流密度J的磁矢势A的表达式。这节课要去讨论关于电荷密度ρ的电势φ的表达式。在静态情形下，电场的旋度是零，缘此电场能够被写成某个标量势的散度：
并且物业经理人，依据麦克斯韦方程组里，关于电场散度的那个方程，能够得出，静电势所满足的方程是：
解一个特殊却简单的电荷情况，此电荷在r等于零处集中，电荷为q，于解一般情形下的电荷分布之前，对应的电荷密度写成这般：
这其中存在一个δ函数，它是一个特殊的函数，在r不等于0的地方是零，而在r等于0的情况时，则是无穷大，并且它还有这样的性质，即满足全空间体积分为1：
这样所要求解的电势方程为：
先看r≠0的情况，上述方程可以化简成如下形式：
另外，鉴于电荷分布呈现出围绕原点的球对称分布情形，故而电势φx,y,z也能够设定为球对称样式，也就是电势能够写成φr，因电势同球坐标系的θ与φ均不存在关联，所以上述式子在球坐标系之下能够写成：
求解这个方程，在量子力学求解三维哈密顿量之际就碰到过，运用与之相仿的办法，定义一个全新的场ψ为：
那么电势φ所满足的方程可用新的场ψ进一步简写为：
用简单的积分知识即可解得这个方程的解为：
其中a与b是与r无关的常数。 上述解得的场ψ对应的电势为：
若要求无穷远处电势为零，那么可得常数项b=0，电势化简为：
此时此刻，仅仅遗留下a这个数值的情况有待于进一步去加以确定，鉴于此挑选出一个半径是R的球体，针对^2φ展开体积方面的积分，依据散度定理能够获取到积分的结果：
留意到^2φ刚好就是电势所符合的方程的左边部分高中物理电势的叠加法，所以依据电势方程以及δ函数的性质能够得出常数a与电荷q的关联：
两边同数以-4π具体将a的表达式写出来为：
把a的表达式，代回到上述所得到的电势的表达式之中，最终得出，位于原点r等于0处的电荷q所产生的电势：
根据电势与电场的关系，可求得对应的电场为：
这便是传统的库伦定律，针对连续分布的电荷，仅需借助叠加原理来对电荷密度展开积分就行，先前的课程已多次开展过同样的操作且给出了结果，在此就不再详细叙述了。
用电磁势表达麦克斯韦方程组
讲完了静态情形，下面就要探讨最为普遍的情形了，也许有人会讲，干脆把静态情形的解里的电荷电流密度替换成随时间变化的电荷电流不就行了嘛？其实并非如此简单，要重新求解一般情形下的麦克斯韦方程组，才能够得出正确的结果。之前提到麦克斯韦方程组在“一层楼 ”的表述会拥有更为简洁对称且易于求解的形式，那现在就来推导用电磁势表示的麦克斯韦方程组。
起先，麦克斯韦方程组里头有关磁场散度的那个方程，不管是处于动态情形之下，还是处于静态情形之下，它都是：
按照亥姆霍兹定理讲，磁场哪怕处于动态情形下，依旧能够被写成是某个矢量场的旋度。
一般情形下的磁矢势便是这个矢量场A，那么麦克斯韦方程组之中有关电场旋度的方程能够被写成下面这样的形式：
这表明高中物理电势的叠加法，E加上∂A/∂t呈现出一个没有旋度的场，此前还证实过这样一种没有旋度的场能够被写成某一个标量场φ的散度：
通常状况下的电势便是这个标量场φ ，那么电场E能够通过电势φ以及磁矢势A被表示为：
到了这个地步，磁感应强度B以及电场E，都借助电势跟磁矢势给表示出来了，这般的表示致使它们自然而然地满足了原本麦克斯韦方程组里，关于磁场散度的那个方程以及关于电场旋度的那个方程，接下来持续探讨剩下的两个麦克斯韦方程要如何运用电磁势去表示出来。
首先来看关于磁场旋度的方程：
把关于电磁势的磁场与在电场的表达式，代入上述给出的方程 ，进行简单的矢量分析方面的运算，能够获得电磁势满足的方程。
移项并整理上述方程，可以得到更加紧凑的形式：
注意到，位于最左边的两项，甚是类似那熟悉无比的波动方程。其中，时间坐标进行了两次求导，空间坐标同样进行了两次求导，这般情形极为对称。而且，此方程并不包含电势φ。于是，设定第三项与第四项能够为零，以此让上述方程得以进一步化简。上节课也已然阐明，电磁势的选择具备任意性。我们能够要求，电势与磁矢势额外去满足如下这般的约束方程：
叫做洛伦兹规范的这种约束，而之后会发觉处在某些坐标系变换下这个约束的形式是不变的情况，也就是有着洛伦兹协变性。于处在洛伦兹规范的情形下，把麦克斯韦方程组里关于磁场旋度的方程依托磁矢势去表达呈现出来的是：
现在就剩下最后一个麦克斯韦方程了：
同样，将电场关于电磁势的表达式代入上式可以得到：
再者又依据洛伦兹规范，还能够把里面有关磁矢势A的散度·A通过电势的时间偏导∂φ/∂t予以替换，进而获得偏偏只含有电势的方程：
到这个时候，已经把麦克斯韦方程，通过电势以及磁矢势给表示出来了，而且呢，在洛伦兹规范这种情况下，电势和磁矢势，不但不会相互耦合，当把磁矢势写成分量的形式时，还会发觉，四个方程，也就是三个磁矢势分量再加上电势，呈现出相同的形式，展现出高度的对称性，这同样表明，只需要求出其中一个方程的解，依据其形式，立刻就能够类比推导出其它方程的解。
张朝阳推导出洛伦兹规范下电磁势表达的麦克斯韦方程组
求解电磁势表达的麦克斯韦方程组
就如同最开始求解静态电荷所产生的电势那般，在这里同样先去考虑一个固定于原点r等于0处的点电荷情形，然而跟静态状况不一样的是，此时的电荷量q会随着时间而发生变化成为q(t)，所以对应的电荷密度便是：
那么关于电势的方程可以写为：
因为电荷密度呈现的是球对称性状，所以能够设定电势同样是球对称的，在r不等于0的区域范围里，借助δ函数的性质可以知道最右边是零，运用球坐标系去改写上述提及的方程成为：
利用求解静电势同样的方法，定义新的场ψ为：
那么可以将方程化简为波动方程的形式：
该波动方程的一般性解为：
当中f(t+r/c)表示的是自原点朝着外面 的解，g(t+r/c)表示的是从远处向着原点传播来的解，此地仅仅是酌量由处在原点的电荷所生成的电磁波 ，故而接下来仅仅留存从原点向外传播出去的解 f(t+r/c)。
再根据电势与新变量ψ的关系可得电势具有如下形式的解：
张朝阳利用解方程技巧求解电势方程
为去到更深入地判定函数f的形式，要去考量r不等于0的区域，也就是原点附近的场方程的性质。当r趋向于0的时候，r/c同样趋向于0，如此这般要是函数f足够平滑那么电势能够被写成：
这和静态情形极为相像，这给予启示，能够运用之前求解静态电势的办法，推导得出函数 f 的形式。故而此处也采用求解静态电势一样的办法，针对^2φ开展一次球心处于原点、半径为 R 的球体的体积分，并且要求 R 极其微小，依据散度定理能够获得积分成果：
从中最后一行运用了R极小的状况，以及f函数具备足够光滑的条件。此结果跟静态情形甚为相像。并且按电势所满足的方程得以知晓，对^2φ开展积分同样等于：
因我们对球体半径R所做的要求具有极小特性，故而在上式里最后一行的第一项，该项源自电势的时间二次偏导，其同样朝着趋于零的方向发展：
就仅仅只留下了q(t)这一项，到了最终的时候，我们是运用处理静态电势时所采用的同样的方式，进而得到了类似于静态电势那样的结果。
因着，上式于任何时刻之际均是相等的，这般情形显示出，函数f(x)同函数q(x)所存在的关系呈现为：
需要特别指出的是，这里，上述那一系列的推理步骤，能够如同静态方法那般，当R处于有限大的情形时予以开展进而推导出完全一样的结果，并不要求R趋向于0，鉴于上面每个积分基于球对称性均可计算得出，具体情况是这样的：
当中的第二个公式的推导运用了分部积分法，将上述两个公式进行联立，同样能够得出f函数与q的关系。
既然已经清楚了函数f的具体形态，那么将其代回到之前所求得的电势的表达形式当中，就能够得出：
这便是一个处在原点r等于0的地方且靠着q(t)来改变电量的点电荷所产生的会跟着时间变化的电势，依据麦克斯韦方程组的空间平移不变性 ，要是电荷并非在原点处 ，而是在r2处 ，能够直接把上述电势的解朝着r2进行平移进而得到。具体而言 ，去考察r1处的电势表达式是这样的：
其中r12是r1与r2的距离：
鉴于电势所满足的方程属于线性方程，故而电势具备叠加原理，就一个电荷分布ρ(r2,t)而言，每一个体积微元dV 等同于拥有电荷q(r2,t)=ρ(r2,t)dV的一个点电荷，把这些点电荷进行求和之后，便能得出整个电荷分布ρ(r2,t)所产生的电势。
前面说过，电势所满足的方程，跟磁矢势分量所满足的方程，二者形式相同，能够凭借类比电势的解，得出磁矢势针对电流密度的表达式。先详细瞧瞧磁矢势第i分量的方程。且，先确切瞅瞅磁矢势第i分量的方程。
对照电势所满足的方程，能够发现，要是把电势φ替换成磁矢势分量Ai，把电荷密度ρ替换成电流密度j的i分量，把真空介电常数ϵ0替换成真空磁导率1/μ0，那么电势方程就会变成磁矢势分量Ai满足的方程。与之相对应的是，把上面的替换应用在电势的解上，就能够得到磁矢势分量Ai的解。
若用矢量的方法重写上式则为：
这便是有关电流密度的磁矢势的表达式，到此为止，于电磁势的层面（第一楼）把麦克斯韦方程组解出来了，然而对于电场以及磁场（第二楼）的求解而言，只需把电磁势的表达式代入到电磁场与电磁势的关系式当中便可。
能够看到，动态情形与静态情形，虽说存在相似的形式，然而，依然有着重要的区别。在仅仅知晓静态解的状况下，对动态解的形式进行猜测，最为简单的想法是，直接把静电解里的电荷电流密度，直接添加上t的依赖，但要留意，这节课所得到的电磁势的表达式里的电荷电流密度中出现的，却是t-r/c的依赖关系，这表明，电磁作用并非瞬时的，改变某一点的电荷或者电流密度所造成的影响，会以光速传递出去。早年进行电磁学研究的那些物理学家，错误地持有电磁作用是瞬时的这样一种观点，原因在于，日常生活里的速度，都远远低于光速，等于是光速就近乎处在那种无穷大速度的状态下，如此一来，t减去r除以c的近似值就是t，从而显示不出推迟效应。
张朝阳求解出一般情况麦克斯韦方程组的解
客观来讲，针对电磁势方向的麦克斯韦方程组，还有电磁势的求解情况，均存在极为深邃的物理内在含义，以及广泛的运用之处，往后会针对此展开更深层次的阐述，呈现出从第二个楼层（直接观察获得的量）向下走到更深的第一个楼层所具备的价值量。
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