二次函数难题和相关例题
难题：
已知二次函数y=x^2-2x-3的图像与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点C为二次函数图像顶点，求AC^2+BC^2的值。
相关例题：
【分析】
根据二次函数解析式得到顶点坐标，再根据勾股定理得到$AC^{2} + BC^{2}$的值．
【解答】
解：∵$y = x^{2} - 2x - 3 = (x - 1)^{2} - 4$，
∴二次函数图像顶点C的坐标为$(1$，$- 4)$．
∵二次函数图像与$x$轴交于A、B两点，点A在点B左侧，
∴点B的坐标为$(3$，$0)$．
∴$AB = 3 - ( - 1) = 4$．
∴$AC^{2} + BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} = (AC)^{2} = (4 + 1)^{2} = 17$．
答：AC$mspace{2mu}^{2} + BC$$mspace{2mu}^{2}$的值为$17$．
二次函数难题及例题
难题：
已知二次函数y=x^2-2x-3的图像的对称轴为直线x=1，且图像与直线AB相交于A、B两点，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），求A、B两点纵坐标的和（用含x的代数式表示）.
例题：
已知二次函数y=x^2-2x-3的图像的对称轴为直线x=1，且图像与直线AB相交于A、B两点，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）（-1，0），求B点的坐标（用含x1的代数式表示）.
解：由对称轴为直线x=1，得顶点坐标为（1，-4）.
把（x1，y1）（-1，0）代入y=x²-2x-3，
得y1=x1²-2x1-3.
∵A、B两点纵坐标的和=（y1+y2）=（x1²-2x1-3）+（0+y2）=x1²-2x1+4.
又∵点B在直线AB上，∴当x=1时，y=4.
∴B点的坐标为（x1+1，4）.
二次函数难题和相关例题常见问题
一、难题
已知二次函数图像的顶点在坐标原点，且经过点A(2,8)，求这个二次函数的解析式，并求该函数图像的对称轴和顶点坐标。
二、例题
已知二次函数的图像经过点A(0,4)，B(2,0)，且与直线AB相交于点C(1,3)。
求这个二次函数的解析式，并写出该函数图像的对称轴和顶点坐标。
解：设这个二次函数的解析式为y = a(x-h)²+k，将A、B、C三点坐标代入得：
y = 2(x-2)²+8，对称轴为直线x = 2，顶点坐标为(2,8)。
解：设这个二次函数的解析式为y = ax²+bx+c，将A、B、C三点坐标代入得：
c = 4，a+b+c=3，4a+2b+c=3，解得：a=2，b=-2，c=4。
∴这个二次函数的解析式为y=2x²-2x+4。
∴该函数图像的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,3)。
总结：在解决二次函数问题时，要熟练掌握二次函数的性质，如开口方向、对称轴、顶点坐标等，同时要注意题目中的隐含条件，如本题中的点A在函数上。此外，要注意分类讨论的思想，对于不同的情况要分别求解。