初中数学奥数题目和相关例题有很多，以下提供两道题目和例题：
奥数题目：
1. 已知二次函数y=x²-2x-3的图像的顶点为A，与y轴交于点B（0，-3），C是图像上的一点，直线AC的斜率是它与AB的斜率的2倍，求C点的坐标。
解法一：由题意可知直线AB的斜率k₁=1，AB中点坐标为（1，-4），则直线AC的斜率k₂=2k₁=2，设C点坐标为（m，n），则由点斜式可得直线AC的方程为y-n=2（x-m），即n-2m-3=0，又因为C在图像上，所以n=m²-2m-3，联立两式解得m₁=1，n₁=-2或m₂=3，n₂=-3（舍去），所以C点坐标为（1，-2）。
解法二：由题意可知二次函数对称轴为x=-1，则AB垂直于对称轴，所以AB垂直平分线为y=x-1，则AB中点D坐标为（1，-4），则CD垂直于AD，设CD的斜率为k，则CD的方程为y=k（x-1）-3，又因为CD过B点，所以k（0-1+1）-3=-3，解得k=2或k=-1（舍去），则CD方程为y=2x-5，设C点坐标为（m，n），则由点斜式可得C在CD上，即n=2m-5，又因为C在图像上，所以n=（m²-2m-3），联立两式解得m₁=1，n₁=-2或m₂=3，n₂=-3（舍去），所以C点坐标为（1，-2）。
奥数例题：
求证：不论x取何值时，（x+3）²+（x+a）²-4（x²+2x+a²）≥0恒成立。
证明：原不等式可化为x²+ax+6a²+6≥0恒成立。因为不论x取何值，（x²+6）≥6恒成立，（a²+6）≥6恒成立，（a²+a）≥6恒成立，（a²+a）²≥36恒成立，（a²+a）²+6≥9恒成立。所以只需证明（a²+a）²+6≥（x²+ax+6a²+6）即可。因为（a²+a）²+6=（a+3）³≥0，（x²+ax+6a²+6）=（x+a）²+6≥0。所以不论x取何值，（x+3）²+（x+a）²-4（x²+2x+a²）≥0恒成立。
题目：求一个直角三角形的斜边长。
已知两条直角边的长度分别为 3 和 4，求斜边长。
解：根据勾股定理，直角三角形的斜边长平方等于两条直角边长平方之和。即 x² = 3² + 4²。
x = √(3² + 4²) = 5
所以，这个直角三角形的斜边长为5。
初中数学奥数常见问题
一元二次方程的应用
例题：已知一元二次方程（ax²+bx+c）（x-h）=0的两个实数根为x₁、x₂，且x₁²+x₂²=1，求a、b、c的关系式。
分析：由根与系数的关系，得x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a，又已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1$，所以（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1$，即（$- frac{b}{a}$）²-2$frac{c}{a} = 1$，整理得（a-b）²=2c。
二次函数综合题
例题：已知抛物线y=x²-2mx+m²（m＞0）的顶点为A，与y轴交于点B（0，3）。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点C，使得AC+BC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，当点D在一次函数y=-x+3上运动时，是否存在以A、B、D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由。
分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）根据二次函数的性质求出AC+BC的最小值，再根据顶点A的坐标求出C的坐标；
（3）分三种情况讨论：①以AB为腰；②以AD为腰；③以DB为腰。分别求出D的坐标即可。
初中数学奥数题目和例题还有很多，同学们可以多做题来提高自己的数学能力。