正是开学的时节，大学新生进入学校，正当是同学年少，处于对未来满怀憧憬的时刻。有不少立志于物理事业的同学，来找我谈论物理的学习方法以及规划 。
物理这门科学存有基础性与实在性，这从其英文词源能够看出来，它和最重要的动词be同源，二者都源自于古印欧语bheue，该词含义是“存在”、“生长”，这个词后来分化出的一支演变成古希腊语的、拉丁语的，还有英语的，其意思是对自然的研究，它分化出的另外一支演变成be，而“存在”正是be的基本含义之一，从字面上讲，物理包含了所有对存在事物的研究，用中文“物理”来表达是极为贴切的。
对于物理学的学习以及研究而言，自然是离不开数学的，由于西湖大学头两年并不划分专业，所以有些同学想要同时去学习最深奥的数学课程以及物理课程。我夸赞同学们竞相追求积极进取向上的精神，然而依旧是建议彼此之间不要去相互攀比。在大学本科这个阶段之内，最为关键重要的是要学会物理学家看待这个世界之时所采用的思维方式，以此为后续在物理方向持续深入学习钻研奠定基础。另一方面，有相当一部分同学会迈入其他行业领域，具备物理背景而在各个行业均可获得成功的事例非常之多。存在一些同学，他们认为，若是学好了那抽象的数学，才能够展现出自身异常出众的能力，进而在日后拥有更多的机会去从事高深的物理研究。然而实际上，这属于一种误解。
有关于怎样去处理好数学与物理二者之间关系这个方面，已然存在一些前辈名家所给出的教诲。就在不久之前，著名物理学家徐一鸿先生于一个对谈节目当中讲得相当不错：物理是离不开数学的，然而物理学家并非需要去掌握大量高深的数学知识。我对他的这个观点表示认同。
[[]1]黄昆先生存在这样一句名言，那就是，“学习知识并非是越多便越好，也不是越深就越好，而是要与驾驭知识的能力相互匹配”。
中国固体物理学以及半导体物理学的奠基人之一，是黄昆先生，他出生于1919年，逝世于2005年。他的代表成就有，固体中那由于缺陷致使的X射线漫散射的“黄散射”理论，还有多声子无辐射跃迁的“黄—里斯理论”，以及描绘半导体中声子极化激元的“黄方程”等 。
我让AI创作了一首五言绝句，呈现为这般样貌，“物理与数学，二者本一家。数学助找寻，物理探自然”。此诗之中的每一句诗，在后续下文里，都分别被拿来用作各个章节的标题 。
01
数理本同源
数学，是人类理性认识自然的一种基本方式，物理，亦是人类理性认识自然的一种基本方式，杨振宁先生将数学，与物理，形容为两片并蒂的树叶，它们彼此之间的关联 ，更如同父亲与母亲那般，呈现出相辅相成、相互促进的平等关系，于自然科学里的各个学科当中，物理学乃是运用数学最为深刻的学科，物理学无法脱离数学，这情形恰似渡河离不开船，一旦离开了数学，物理学便难以深层次推进，在物理研究的进程中，会持续涌现出新的数学问题，这常常是推动数学发展的源动力之一 。数学和物理的密切结合，才使得人类对自然的认识不断地深化。
纵览人类历史进程，数学与物理不予分家实际乃是主流的传统习惯，自古代起直至近代皆是这般情形。诸多声名显著的数学家同时亦是重要的物理学家，反之亦是同理。于此方面的事例那可是屡見不鲜的 。
阿基米德，古希腊时代科学家的代表人物，是那个时代顶尖的数学家，也是顶级的物理学家。身为数学家，他是积分的前期奠基者，发明了无穷小分析，还求解了抛物线段与直线段所围的面积。作为物理学家，他使静力学达到了顶峰。他把数学模型运用到物理分析上，得出了杠杆平衡条件与浮力定律等 。
近代时，牛顿于物理学史上的地位，那自是无需多言的 。另外，牛顿在数学史上，也是颇为有名的数学家 。他跟莱布尼兹是微积分的主要发明者 ，构建了微分与积分的关系 ，还提出了著名的牛顿—莱布尼兹公式 。在往后的两百多年时间里 ，经典物理的发展无法脱离求取微分方程 ，而同样发展微分方程的直接动力便是为了去解决经典物理所提出的诸多问题 。数学与物理之间相互促进 ，相辅相成 ，着实令人向往 。
大家都熟知的大数学家高斯，活跃于18世纪末以及19世纪早期，虽说他对数论有着重大贡献，还提出了素数猜想，然而他也是非欧几何的创始人之一，不仅提出了高斯曲率，还发现了“绝妙定理”，而实际上高斯在电磁学历史上亦是具有重要贡献的人物。就拿麦克斯韦方程组来讲，其一共有四个方程，单单其中一个便被称作电场的高斯定律，还有另一个则是它在磁场方面的对应方程；再者电磁学基本单位制的一种正是由高斯所设计，鉴于在这一电磁学基本单位制里电磁的地位是对等的，故而深受物理学家们的喜爱。高斯还发明了磁力计，用来测量磁场的方向和大小。
再举个更具现代感的例子，那便是杨振宁先生啦，他可是众人皆知的大物理学家呢。他同李政道先生所提出的关于弱相互作用下宇称不守恒的研究成果，荣获了1957年的诺贝尔物理学奖。实际上呀，杨先生在数学领域同样有着颇为重要的影响。当代数学物理存在两个核心课题呢，分别是杨—米尔斯规范场以及杨—巴克斯特方程。杨—米尔斯量子规范场论中的质量能隙问题呀，那是当代数学极为关注的问题，还是克雷数学研究所提出来的数学七大千禧年难题之一哟，直至如今都还没有被完全攻克呢。杨—巴克斯特方程，则开启了量子群和量子代数的研究方向。
02
行行终分迁
早年时，数学与物理紧密相连，不分彼此，然而它们俩所持价值观却不一样。随着时间推移，它们之间的差距越来越显著，距离逐渐拉远。进入20世纪以后，二者之间的往来沟通变得艰难起来，这可真是件让人可惜的事儿。
数学毫无疑问是优美的，我没有现代数学的素养，若说得不对还请大家批评指正。我的感觉是，严格性是数学所追求的核心价值之一，它与物理的价值观并非完全相同。对于物理而言，除非你从事的是数学物理研究物理学家谈物理，不然严格性不是最关键的，严格性属于锦上添花之事，并非本质要求。
作为物理学理论，其价值体现在能不能解释已有的实验，又或者是能否加深对已知理论或者实验的理解，更为理想的是可否预言新的结果以指导未来的实验。物理原理一般达不到数学意义上的那种严格，对于这一点物理学家们并不在意。在理论基础不严格的情形下，物理学家们会大胆地朝着前方发展，而不是先去把基础严格化。打个比方，假定有一个物理学家计划出门。从数学的角度来看，他这么做是不严谨的：路上会不会发生交通事故呢？他得先证明能够安全地返回，才能够出门。如果按照这个标准，那可研究的物理是少之又少了。
量子场论属于当代物理学具有代表性的成就里头的一个，其中的量子电动力学算出电子的磁矩μ/μB等于2.20(687)，这里面呢，μB是磁矩那个自然单位玻尔磁子，e是电子电荷，m是电子质量，c是光速，实验测量给出的数值为2.1460(56)，理论跟实验之间在大小方面的差别比十亿分之一小，这着实很令人震撼，肯定是巨大的成功，然而啊，要是用数学的那种眼光去审视它，这个结果不太能让人觉得满意 。量子场论因存在无穷多自由度，会出现发散困难，即计算结果表观上是无穷大，这明显不物理，要得到有意义结果需进行重正化，其第一步是对发散积分进行正规化，正规化早年做法是将两个无穷大的发散积分相减得有限值，这在数学上是病态的，即便在物理学家内部，以狄拉克为代表的不少人对重正化持否定态度，随着人们认识深入，物理学家对重正化合理性的理解在逐步加深。重正化的概念，有着其独特性质，重正化群的概念，同样具备特别之处，它们不仅于高能物理这个领域，发挥着关键的作用，而且在凝聚态物理范畴内，已然成为了用于研究相变现象以及临界现象的重要工具，是这样的情况 。
就算是数学，处于其古典时期时也能够接纳一定程度的不够严谨性，于微积分的历程里，存有过长达差不多200年的不严谨阶段，牛顿、莱布尼兹发明了微积分，那是1670年代之际的事，牛顿的意图是要处理变速运动，他的微积分是极为直观的，并非严谨的，倘若询问牛顿，dx /dt里边的dt，究竟是不是0，牛顿是无法给出令人满意的回应的，微积分的严谨化是后续的事，大家即将学习的ε—δ语言，是在1860年代由维尔斯特拉斯、柯西等人提出来的。此间200年历程中，拉普拉斯诞生了，欧拉诞生了，拉格朗日诞生了，高斯更是同样诞生了，他们均为众多数学物理学家，然而他们所运用的数学微积分都具备不严格的特性。恰恰于这段时期之内，以微分方程作为典型代表的高等数学呈现出快速发展的态势前行着。物理系存在一门重要的基础课程，它被称作《数学物理方法》，其核心构成部分涵盖偏微分方程以及特殊函数方面内容，而此二者正是这个特定时期所取得的成果。
在19世纪中期往后，微积分基础的严格化得以完成，一个具有代表性的成果是维尔斯特拉斯函数，它在任何地方都连续，在任何地方都不可导，然而人们此前一直理所当然地认为，连续函数除去个别尖点之外都是可导的。曾经有过这样的疑问：要是在微积分成熟以前，有人偶然间发现了这个函数，那将会是怎样的情形呢？极有可能其结果是负面的，原因是这会致使人们对微积分基础产生不信任感。要是等到微积分变得严格了才去运用它，那么对于物理研究的阻碍就太大了。所以，过度的严格性对于物理研究而言，不但不是好事，反倒有害。
03
数学为舟楫
物理学家对数学有所需求，然而数学并非目的只不过是种工具，最好于物理学习进程当中，欠缺哪方面数学随之去学哪方面，而非老老实实地预先学习诸多数学，人的精力存在着一定限度，鱼跟熊掌没办法同时获取，就像徐一鸿老师讲的那样，大多的物理进展并非受到数学促使往前推进的，于物理学习进程里，带着问题去钻研数学，常常能收获成倍功效，且能够学到实际操作本领。
在进行物理研究的进程之时，常常得运用我们并不通晓的数学，此时，物理学家能够谦逊地向身为数学家的各位朋友去求取教导，举例而言，杨振宁先生于开展规范场理论的研究之际，便朝着数学家西蒙斯求问过有关纤维丛的概念，有时所需要的数学尚未构建起来，如果这样的话，物理学家甚至于能够创造全新的数学，牛顿发明微积分就是最为典型的实例，因为那时有为求解运动方程的物理需求，而这些均属于二阶微分方程。
1925年，存在这样一个情况，海森伯发明了量子力学的第一种现代表述形式，也就是矩阵力学，迄今刚好是100年的时间跨度。那时，有个事实是，他实际上并不了解矩阵。他依从玻尔的旧量子论里的定态假设，对坐标概念给予了重新的解释。比如说，针对坐标方面的x分量，海森伯将它构建于初态i以及末态j的中间地带，如此一来，x便不再是单一的一个数，而是摇身一变成为了一个二维数组xij 。为了计算辐射功率，所需的是坐标的平方(x2)ij ，所以他把第一个x放置在初态i与中间态k之间，将第二个x坐标构建于中间态k和末态j之间，之后针对中间态k进行求和，也就是。他的导师玻恩察觉到这便是矩阵乘法，能够讲海森伯算是重新发明了矩阵。能够设想，要是当时不存在线性代数的话，量子力学对于线性代数的需求，将会极大地促使线性代数发展，如同当年牛顿力学推动微分方程的发展那般。
04
物理溯天然
物理的思维特性是刚开始以具体为主随后才走向抽象，并非是颠倒的状况。在尚未把握物理的思维方式以前，过度的抽象不利于物理的学习，可以致使陷入空洞思辨的困境。甫一开始就进行抽象并不契合认知规律。
倘若你并非将纯数学当作人生追求，那么沉溺于极度形式化的数学或许会对你不利，由于价值观存在差异，你便不会认同物理学的思维方式，要是日后打算再去学习物理学，那将会异常痛苦，这属于整个思维方式的转变，并非所有人都能够轻松地实现切换 。
大家知道，我向众人推荐《费曼物理学讲义》，原因在于它展现出物理学家的思维模式，它通常不会将物理原理径直抛向读者，而是把读者引入该原理发展的背景里，并让读者感受其构建的进程，这就如同带着读者去建造一所房屋，读者得亲自搭建脚手架，而非直接拎包入住它里面、这中间构建没有过多形式化的推理，形象得很，诸位晓得么，好多知名的物理学家，回忆自己为何走上物理学研究道路时，都表示《费曼物理学讲义》启发并触动了他们。
我们常常讲数学是物理的一种语言，然而好多意境是能够意会却无法言传的东西，而领会这些意境是学习物理的关键要点所在。要是不理解方程背后所对应的图像，仅仅是专注于方程自身的推导过程，从抽象迈向抽象，那就极其容易迷失于数学语言当中。要是习惯了这样的思维样式，那往后就不太容易取得开创性的成就了。因为抽象是需要具备基础的，得先等其他人构建好一个基础，你才有可能去进行抽象，如此便很难跳出别人的框架范围了 。
我存有一位身为数学家的朋友，他阅读过《费曼物理学讲义》第二卷，该卷所讲述的乃是电磁学范畴，其涵盖的基本内容乃是麦克斯韦方程。那些呈现为偏微分形式的方程，于他而言是显得非常浅显的。他所拥有的体会是，每个方程他都能够看得明白理解无误，然而总归却依旧是并不理解电磁波究竟是怎样发射滋生出来的。我针对此给他进行了解释，阐述了法拉第电力线的概念，电力线宛如橡皮筋那样，其起始的段落及末端分别系缚在正负电荷之上。随着电荷出现振动的情况，电力线也随之出现弯曲的状况，并且还传播扩散开来，就仿佛是吉他弦上所产生的波动那样，这便由此产生了电磁波。吉他的弦波属于横波类型，与之相类似的电磁波同样也是横波。正是麦克斯韦方程，运用数学严谨的语言去讲述上面那个故事。有了如此这般的物理图像之后，再去瞧那些微分方程，就会发觉方程俨然就是能够被人理解的一种语言了， 。
处理物理学习中以及有关研究里具体与抽象二者关系的办法，我打算挑大家都熟知的事例造个比喻。先秦时期《诗经》当中的《国风》，于中国文学史上有着关键地位，它的源头是在田间地头被传唱的民歌。能够想到的是物业经理人，它的原型不会雅致到何种程度，然而它源于生活，故而充满着生命力。于是处在庙堂高位的人派人前往江湖偏远之地去采风，把那些民歌收集起来加以整理并且予以加工，运用文人的语言进行升华，就变得雅致许多。当然这是很有必要的物理学家谈物理，能够成为经典才可以更好地流传，正所谓“言辞没有文采，传播就不会久远”。然而文学其后的演变逐步变得抽象起来，汉赋以及六朝骈文盛行，其对文采与音律的雕琢程度超越了对内容的追求，尽管出现了像王勃的《滕王阁序》那般的名篇，可道路却越走越狭窄，到唐朝中后期便无法继续前行了，于是什么韩愈“文起八代之衰”，发起了古文运动，倡导撰写朴实且言之有物的散文，在此基础上诞生了唐宋八大家的古文，对于物理学家而言，依据实验事实去构造理论好似采风，钟情于形式化理论犹如写骈文，这其间要有一个平衡。
05
结 语
有同学找我谈心，说其想把物理当作人生追求，可又担忧自己会一事无成。我回应称，有成与无成更多是一种主观感受，每个人都是比上不足比不上，比下有余超得过。若努力了，一事无成亦不可怕。哪怕仅有一点小小成就，我们便能每日乐在其中，活得很开心。
费曼曾给一个来美国留学的日本学生写过一封信，那个学生本想跟费曼做出一番大事业，然而结果不尽人意，毕业后便返回了日本，这个学生给费曼写信称自己找了个职位，正在做卑微的研究课题，还表示自己是个小人物等等。费曼安慰他，言道课题无关乎大小，只要是尚未解决的问题，只要能够往前多迈进一步，那便是有价值的。怎样才能让自己觉得活得有意义呢？那便是从小事、具体的事情着手去做。要是有个同事所面临的问题无法搞定，而他具备帮人解决问题的能力，当同事因他解决了问题从而感谢他时，那么他就并非是一个无足轻重的小人物了 。
这便是那种“勿以善小而不为”的态度，有没有成就并非是大事，持有所谓“朝闻道夕死可也”的心境，日子便不会觉得苦闷 。
最后，我向对于有志于献身物理事业的同学表示深深的敬意。