Q1：首先呢，想要恳请申老师，简要地去介绍一下，当下的研究方向，以及您最近这段时间比较关注的那些问题。
A：我当下主要的研究指向是随机偏微分方程（即随机PDE，也就是SPDE），此种方程从本质上来说是于经典PDE里头添加了随机扰动项。我当下最为留意的一类SPDE是源自规范场论里的模型，特别是和Yang–Mills场论有关联的系统。这类方程在局部正则性层面极为困难，原因在于它们的解正则性相当低，并且要在这种低正则性的框架以内处理无穷维的规范对称性。我们最近在这方面也收获了一些进展。此外，我们对那些和这些SPDE相关联的离散模型也极为关注，举例来说，能够把量子场论在格点处进行离散化，进而获取类似于统计物理里的模型，一个具体事例是被称作格点Yang–Mills模型的，这类模型和Ising模型相类似，然而它的spin取值于某些李群之上，故而具备更丰富的局部对称性，在这类模型当中能够研究类似关联衰减等统计物理中的关键问题。
总的来说，我所关注的主题乃是量子场论跟概率论之间的关联。量子场论身为现代物理极为基本的理论架构之一，长久以来对数学的诸多分支造成了深远的影响。比如说最喜爱的物理学家，在几何以及拓扑领域，量子场论促使了模空间和不变量理论的进步；在表示论里，引入了像量子群这类新的概念；在泛函分析的进步过程中，同样有着十分深刻的影响。
近些年来，量子场论针对概率论已然造成了越发深远的影响，这是我当下尤为感兴趣的一种现象，一方面，某些数学物理的关键问题，像是Yang–Mills量子化问题，看上去能够借助概率方法当作研究途径；另一方面，于研究这些问题的进程里，也促使产生了诸多概率论以及随机分析的新工具与理论，这种影响是具有双向性的，举例来说，十年前被提出来的正则性结构理论，它象征着随机分析领域的一回重大突破。展开对量子场论跟概率相互交叉问题的研究，这是我当前极其关注的一条研究主线。
Q2：您于今年荣获了 Rollo 奖，此奖乃是概率范畴内的关键国际奖项，在您的认知里，得奖对于您当下所从事的研究而言究竟有着怎样的意义呢？它是否也对您未来的研究方向产生了影响呢？
我极其荣幸能够荣获此奖，得以获得同行的认可，这着实是极为令人欣喜的事儿是，此次获奖的缘由在于我于SPDE理论领域的研究，特别是针对随机Yang–Mills流所开展的工作，这也表明该领域正备受日益增多的关注，更为关键的是期望这个奖项能够激励更多年轻学者留意并投身于这个方向的研究之中，这个领域依旧存有诸多深刻且有趣的问题，值得更多人一同探寻。
Q3：您本科是在北大完成的，硕士阶段同样也是在北大完成的，硕士期间您是师从田刚老师的。那么这段经历对您而言有什么影响吗？
A：我读本科时，实际上最为心仪的方向是几何与拓扑。大四那年，我开始较为频繁地和田刚老师交流，最初这始于参加他在北大所组织的一个几何讨论班。那时讨论班的频率颇高，内容也极为深入。一开始，田老师让我阅读一些材料，在讨论班上作报告。他给我看的第一本书是- ，这是一种于交换群背景下所提出的规范场论模型，相对而言较为简单，然而却已然拥有诸多极为漂亮的结论以及在几何拓扑里的应用。自这个方程起始，能够界定模空间，架构起一类特别具效力的不变量，这对于四维流形的研究有着重要的价值。在那个时候，我也顺便瞅了一些Yang–Mills理论。田老师随后也指引我试着开展了一些有关四维流形方面的课题研究。
然而，那时我的心里始终存有一个疑惑：同为物理学家，他们究竟是怎样从物理层面出发进而提出这样一个方程的呢？虽说我能够领会数学上构建不变量的部分，但若面对这个方程背后所涉及的物理内容，像是路径积分、超对称、对偶性这类事物，我全然无从理解。因而，那时我便格外好奇，或许源于这般好奇心成为了我后续对数学物理萌生兴趣的起始点。那时自然未曾料到，多年以后我会于概率以及随机分析当中再度遭遇这些问题。
实际上，我在本科阶段时，对于概率并没有太深的感触。还记得，我第一门概率课程临近结束之际，是需要去查询正态分布表的。那时我心里想着，这门课程学到末尾居然得查表，似乎就不太显得“高端大气上档次”，所以就没怎么予以关注。当然啦，从如今的角度去看，情况并非如此。那个时候，我在数学方向实际上是有着诸多想法的。我喜爱数学物理，其中一个缘由是感觉它与现实世界更为贴近；再加之身处北大数院，周围汇聚着众多大师，而自己也不太能确定从事纯数学研究是否能够得以“立足”；我具备还算不错的编程能力，也曾思考过要不要投身于计算相关的行业。我仍旧记得，田老师那时跟我讲，“无论你最终做什么，都得具备些耐心以及坚持。”，这话对我的影响颇为深刻。
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申皓北大毕业留影
问题4：您于博士阶段选定鄂维南老师作为导师，进而开启与SPDE相关课题的研究。那时基于怎样的思考做出这般选取？此段经历对您后续的学术发展造成了哪些作用？
分开来说，快要出国那时候，我印象挺深的，有一回联系鄂老师，他问我，是不是还压根没学过Itô随机微积分这类内容来着，对不对。他讲，这可是特别基本但又极其重要的工具。于是乎，那个暑假我就赶忙抓紧去补这些基础。紧接着第一年，上了好几门概率课，这才算是把这些基础给补上。所以确切来讲，是去了美国之后，我才真正开启系统学习概率的历程。
我刚开始攻读PhD时，并未集中精力去做SPDE，那时，鄂老师建议我去了解一个十分有意思的事物，它叫做“重整化群”。这是一个源自物理学的概念，然而它在极为众多的场景当中都会现身，像统计力学、量子场论、湍流理论、动力系统，当然还有SPDE；甚至于几何里的Ricci流，从某种层面来看，也能够被理解成一种重整化群。所以呢，我当时把“重整化群”当作一个总的主题，去有系统地学习了诸多不同分支的内容。这种训练对我后续的研究产生了很大的影响。在我PhD后期，我发表了一篇关于重要的KPZ方程的文章，那之后，在鄂老师的指导下最喜爱的物理学家，我才开始集中去考虑SPDE。
实际上，在学术的道路之上，方向出现转变这种情况是极为常见的事儿。我知晓在一个领域当中，存在着一个极为厉害的人，此人最开始是从事纯PDE方面工作的，据说呀，他是在成为教授之后，才开始去学习“究竟什么才叫做随机变量”的。然而呢他现如今在这个交叉领域之内，做得相当出色。当然啦，我觉得其前提是源自于真实的兴趣，而并非是随意地进行跳跃变动。
Q5：您怎样看待“交叉学科”于现代数学研究里的地位呢？您的研究常常处在多个子领域的交汇之处，在跟合作者进行交流期间，您认为最大的挑战以及收获是什么呀？
A：我觉着“交叉学科”于当代数学研究里已然是极为普遍的一种现象，拿概率论来讲，它跟偏微分方程（PDE）的交叉极为常见，与此同时，还有跟复分析、表示论之间的交叉，再者，假设你从事的是可积系统方面的工作，其中会关涉到表示论里的代数结构，并且概率与理论计算机等学科间的关系也都相当紧密，其他方向亦是如此，就像PDE与调和分析、组合和代数几何之间，同样存有大量交叉。现时已然较少有人全然孤立地仅钻研一个极为狭窄的小范畴，且与其他方向不产生丝毫关联，故而“合作”愈发重要。于跨领域的合作里，每个人所擅长的技术背景存有差异，能够在合作中各自施展专长，彼此学习。我自身每次与不同的合作者开展合作，均有一种“被拓展”之感。这般合作有点类似于交响乐团的演出，借由默契的协作演奏出美妙的音乐，这是一个饶有趣味的进程。
刚才我所提及的，就我个人来讲，自博士阶段起始，我自身的背景便已然有了一定程度的交叉性。那时针对和重整化相关的各类问题展开学习，一方面，促使我构建起了一个更为宏观的、具有结构性的知识框架；另一方面，还让我在后续同有着不同背景的研究者进行合作之际，能够更轻易地“对接”上，拥有共同语言。能够这么讲，这种交叉的背景，对我拓展思路有帮助，还丰富了我对问题的理解方式。
Q6：关于如何找问题您有什么可分享的经验吗？
A：我能够以自身的一个事例说起。我在博士毕业之后去寻觅做博士后的机会。那时运用理论研究奇异SPDE这个范畴尚处于一个相对前期的阶段，所研究的主要是诸如φ⁴这般比较基础的模型。所谓“基础”指的是这些模型对应的确定性PDE部分较为简易，对应的量子场论背景也相对浅显。然而要是从物理的层面来看，实际上更为深刻、更具趣味的是“规范场论”。于几何的层面而言同样如此，很明显像Yang–Mills这类具备几何意义的方程，相较于φ⁴更为丰富，更具结构性。因而在那个时候我就萌生出了一个念头：我们可不可以试着去研究随机Yang–Mills理论呢？
于是，我先撰写了一篇，关于交换群情形的小文章。那时，我虽说未曾运用特别深奥的几何工具，然而北大期间所积累的一些几何背景，还是颇具作用的。比如，文中所涉及的技巧，实际上是北大时期，在田刚老师的几何讨论班上所学到的某些内容，不过这类技巧，在从事纯粹随机分析的人那里，或许并不太常见。后来，我和等人继续开展更深入的非交换情形的研究。细细回想之时，这着实是个相当不错的问题，它具备重要的物理方面的背景，能够与几何之类的其他学科产生联系，进而发挥自身在其他方向所拥有的背景，并且对无穷维对称性展开研究的确是让随机偏微分方程在前进道路上迈进了一步。然而，说到底，一个称得上良好的问题终究得是那种致使自己一旦想到便会激发出兴奋之感的问题。
找寻问题实实在在是科研里头极为关键的能力，我自身亦是缓缓摸索。这是个需要长时间去积累的进程，又或者是从学生时期便得着手培育的一种习性。比方说刚刚开始研习数学之际，最为自然而然的反应便是“为啥我要去学这个概念？这个玩意儿是用来干啥的？”——这般反应自身就极为可贵。要懂得去抓住这些“问号”，而非被动地接纳。以往学习数学一个概念只能先接纳，随后才领会它的用途。现今借助网络以及AI能够更快速地知晓一个概念的背景与应用，从而强化学习的动力。我觉着学完一门课程之后，你的笔记本里头不但应当存有证明推导，更应当留存各类问号，诸如，要是这个条件不成立会产生怎样的情况呢，自身能不能构建一些例子呢物业经理人，且是等等诸如此类情况，这般生动且带有问题意识的学习进程，对于往后的研究而言是比较重要的。
申皓在2023年暑期北大数学校友论坛期间作报告
Q7：在开展研究的进程当中，是否存在格外具有挑战性，困难程度颇高的瓶颈时刻呢？您一般是运用怎样的方式去安然度过这些阶段时期的呢？
甲表示，搞科研绝对是颇为艰难的，所有人皆是如此这般。存在一些问题，长时间都寻不到门道思绪。时不时还会忧心毕业之事，烦愁找教职这一状况，操心论文发表方面。故而始终是伴随困难前行的。然而，我认为有一桩事情还是笃定的，那便是解决问题能力的提升必定是跟投入的时间以及付出的努力呈现正比关系的。这可是在诸多不确定的事项当中，相对较为确定的事情。
经历了些许努力以及时间的投入以后，便拥有了一套属于自己的工具箱，掌握了若干技术，并且还有一个装着形形色色问题的口袋。你能够时常将它们翻找出来。要是一个问题着实想不出解决办法了，还能够换一个来尝试验证，或者运用解决这个问题的方式方法再去尝试解决另一个问题。而后这种过程是交错开展的，并非意味着你十年抑或是许多年始终专注于一件事而不做其他的。在这个过程当中，你会渐渐愈发了解自身的能力以及性格，发觉自己适合何种问题，适合怎样的风格，渐渐地寻找到一条属于自己的道路。
在我看来，每一行都并非是那种毫无阻碍、一路顺畅的，而是得付出诸多的努力，才能够收获成果。总而言之，生活当中依旧是要始终维持乐观的心态，出去进行一下运动，要保持良好的人际关系状况，不要过度去在意某一个时刻的得到或者失去。
问8：您会怎样去描述自身的那种研究风格呢？您是更偏向于快速地去解决问题，还是更加倾向于以慢工出那种精细的成果呢？
A：觉着好似在委婉地询问我究竟是天赋型选手还是努力型选手（笑）。我认为这要视问题所处的阶段而定。要是下定决心去解决一个棘手的问题，起初必定会存在一个推进极为迟缓的酝酿时期。或许会耗费数年光阴去思索怎样应对问题、提炼问题的关键所在，考量大抵运用怎样的解题思路以及工具。这是一段颇为漫长的筹备阶段，或许需要一些零零散散的初步构想，将其记录成笔记。待到最后撰写论文之际，这些笔记兴许并未直接派上用场，然而依旧需要历经这段酝酿历程。这段时间并非什么都不干，或许会同步开展一些别的小问题，这些问题切实可行，能助你推进思考。
要是问题进展到了你所认为能够予以具体化、具备切实可行性的阶段，进而步入论证以及计算阶段，那么我认为必然是需要迅速加以推进的。每个人的技术天赋存在差异，手上所拥有的工具也不尽相同，然而我觉得专注所蕴含的力量是极为巨大的，切莫让其他事务对你形成干扰，务必要集中精力尽快达成证明与计算。
在最后的成稿阶段，其重要性也是极为显著的。我觉得于该阶段而言，慢工出细活那是绝对不可或缺的事情。必须要审慎地去修改文章，既要保证自己能够看得明白，又得顾及读者的理解情况，切实保证论文足够清晰，以至于在很多年之后，当别人再度阅读时，依旧能够体会到这是一项漂亮且严谨的工作。在这个时候花费时间去细致地打磨，往往能够收获事半功倍的效果。因为我们进行科研工作，可不单单是为了把文章发表出去就了事，我们同样期望自己所做的工作能够流传久远。要是想法很棒却没有表述清晰，那就着实可惜了。我还记得对于写作的要求是相当高的。有一回，我搞了一张图，他借着LaTeX里的放大镜功能，专门对图的每个细节去查看，瞧瞧图做得是不是毫无瑕疵。
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申皓2018年在纽约大都会博物馆参观
问9：您怎样看待当下国内概率以及数学物理研究的发展趋向？有没有格外留意的某些国内年轻学者或者方向？
对于这个问题而言，或许有些过于宏大了，概率以及数学物理属于极为庞大的领域，在这些领域里存在着诸多子方向，而对于其中许多子方向，我仅仅是处于“一知半解”的状态，毕竟一个人是不太有可能对所有方向都做到充分了解的，我自身所感兴趣的方向是和物理、PDE、几何相互交叉关联的领域。
假设在物理范畴内，我对于统计物理领域当中的某些离散模型有着相对浓厚的兴趣。就在前段时间，当我前往北大进行访问之际，目睹了北大的丁剑于统计物理离散模型这个部分，所带领的学生团队具备相当高的水准。又比如说，我对和物理有所关联的量子场论、共形场论同样怀有浓厚兴趣，并且我时常与孙鑫针对这些问题展开探讨。另外还有许惟钧，我们也常常开展讨论以及合作。然而实际上，交流更多呈现为非正规的状态，很多情况下我们是在吃饭、聊天、散步（笑）。除此以外，指向PDE以及随机PDE关联的研究工作方面，我跟身处北京的朱湘禅以及朱蓉禅是有着长久合作关系的伙伴。间或的时候，我会跟几何领域里的某些友人进行闲谈交流，原因在于我察觉到他们同样极其关注量子场论、路径积分这类的问题。
我认为，就国内研究发展趋势而言，我之前提及的那些年轻学者，皆是在国外完成学业，且取得显著成果后才回归国内的。这明显能够说明，国内于吸引人才这件事上，着实做得相当出色。并且，在我前往北京进行访问的进程中，我察觉到当下北京的学术活动极为活跃，众人的心态也均是积极向上的。在我回国之前，有人声称当下很“卷”，然而我回国之后却发觉，大家所处的氛围实际上还是颇为欢乐的。
疑问句Q10：请问，可不可以更加详尽地去讲述一下您所亲身感受到的那种欢乐氛围，大概而言，它是具体表现在哪一些方面呢？
A：我觉着当下年轻一代，要是把我自己也算作年轻一代中的一员的话（笑），他们颇具幽默感。不管是自我调侃，还是在其他层面，众人好像都能够秉持一种轻松的姿态去看待事物。所谓的“卷”固然是存在其问题的，然而大家并未过度悲观，反而是以乐观的心态去看待诸多事情，这是我所感受到的第一个要点。
其二，我认为国内具备超强的自我修复能力，几年前回国目睹的一些状况，时隔三年再度回国观察时，发觉那些状况竟仿若被奇妙化解，就如往昔的雾霾问题，现今已然大为好转，即便某些所谓体制性的问题，也正逐步得以解决或者改进，国外诸多问题给人的感觉是系统性的，并非那般易于改变，故而，我觉得这亦是众人葆有乐观心态的缘由之一，只因许多事情发展极为迅速，问题在发展进程中得以化解。
北京国际数学研究中心办公院落一角
想问一下Q11：当下，越来越多的中国学生，于本科阶段便已然开始关注前沿数学研究，甚至还提前去接触诸如SPDE、几何测度、量子场论等交叉方向。那么，您对于这些年轻的学生，有着怎样的建议呢？
我个人认为，本科的时候，最为关键的是要将基础课程学好，就如实变函数以及泛函分析这类课程，得把细节琢磨透彻，别沦为那种所谓的“名词党”，也就是能够说出好多挺大的概念，可实际并不明晰它们具体的意思，当下伴随AI的发展，获取新的知识已愈发便利，你能够去询问GPT什么是费曼图，它会清晰、明白做解释，并且要是你不懂，还能够接着追问，这属于互动式的学习，所以，获取知识并非是难事。然而，真正具备能够剖析问题、化解问题的那种能力，始终是稀缺少见的资源，这是需要借助刻苦勤奋地训练才可以获取到的。
此外，方才所提及的基础课程，学完之后能够多多留意它们彼此之间的关联。比如说，回过头去瞧瞧学过的泛函分析，与PDE之间存在着怎样的关系。要是这么去做的话，你将会拥有一个有条理的知识体系，而非零散杂乱的知识点。像这样的积累，对于未来的科研工作而言是极有帮助的。
就你所提及的量子力学，还有统计力学等这类物理课程，你自然是能够抽些空闲时间去找一本书，宛如看小说那般不深入探究地大略翻阅一遍，去知晓一下大致的内容。要是你发觉这些内容挺有意思，并且还能够和自身已有的知识产生共鸣，就好比看统计力学的时候察觉到其中的某些内容恰好是概率论的一部分，到那个时候你就能够依据兴趣进一步深入地去学习。但要是你感觉这些内容枯燥得很乏味，压根就弄不明白它们到底在讲啥，也许是这本书写得不太好，又或者在本科阶段去看这个还是稍微有点早，那也没啥关系。不要由于别的同学正钻研这些内容，你便产生焦虑情绪，并且不要因为研习了这些内容就去恫吓别的同学。这是我个人的某些建议。
Q12：如果让您给现在北大的本科生一句建议，您最想说什么？
关于A，其表明认为来自北大的同学普遍而言是比较具备主见的，一般情况下不太会去听从他人所给出或者提供的建议（以笑来表述），不过A又觉得最为关键以及重要的仍旧是得拥有属于自己的主见。
说不定我只能讲，满心都是对你们当下时光的极度羡慕之情，毕竟年轻，有着极为充裕的时间去亲身感受各类饶有趣味且引人入胜的事儿。能够拿出相当多时间去钻研理论数学、应用数学、统计学以及人工智能这些领域，还有时间促使自家各种业余爱好得以蓬勃发展，精心规划未来前行的方向，进而探寻林林总总、形形色色的可能性。