第一章 质点的直线运动
考点、知识体系与方法（一）考点及要求
（二）表征知识的基本方法
1.模型
本章构建起高中物理学里首个物理模型，也就是质点，这致使我们能够运用一个点去标明物体的位置，借助矢量这一数学工具，创立位移、速度以及加速度的概念，进而经由实验搭建起一套阐述质点运动规律的理论，我们把这套理论称作运动学。
2.条件和形象思维
要完成质点的运动，是在时间以及空间里的，所以去描述质点的运动，就无法离开时间条件还有空间条件。剖析时间条件、空间条件，有一个极其直观的法子，那便是运用图形把它们标注出来，进而构成一幅充满生机的质点运动的景象，以此将运动过程呈现出来。可是，当质点历经两个或者更多的运动过程时，相邻的过程存有连接条件或者临界条件，如此一来就需有图形把变化展示出来。一旦情景弄明白了，质点运动模型常常就清晰明了了，依据条件寻觅适宜的规律，列出方程便是自然而然的事情了。
3.算法
就物理规律的表述方式而言，存在着两种情形，其一为采用文字进行表述，其二是运用数学予以表述，而数学表述又能够进一步区分为代数表述以及几何表述这两种类别。其中，代数表述所指的便是我们所熟知的方程，几何表述所讲的则是函数图像。借助方程以及图像来对物理规律加以表述，二者是具备等价关系的！在本章之中，我们将会运用代数方面的方法，像是求解方程（组）、求取极值等等，同时还会运用到物理图像，诸如位移与时间相关的（x-t）图像、速度与时间相关的（v-t）图像，甚至还会涉及加速度与时间相关的（a-t）图像等等。
在高中阶段，对矢量运算着手处理之际，经常会运用的方法是平行四边形定则，是正交分解合成法，意思就是构建直角坐标系，将矢量式子转化成标量式子，在本章起始阶段，就要娴熟地把这两种方法掌握好。
（三）知识结构图
概念与规律精析
1.运动学概述
（1）物体的位置，在随时间改变，是相对于某一个参考系，或者坐标系而言的，这种变化被称作机械运动，也简称为运动。
（2）在物理学领域中，存在这样一个学科，它被称作运动学，其主要内容是，针对物体运动的相关情况展开研究，具体而言，就是描述物体运动时所涉及的物理量，像位移、速度以及加速度等，随着时间推移所产生的变化，而且还要呈现出物体运动轨迹所具备的几何特征，运动学的任务在于，针对物体的运动进行几何性质方面的描述，却并不去探究该运动产生的原因。
（3）有一种学科，它被称作动力学，是专门用来描述物体从事某种特定活动的缘由的，比如，通过运用力、动量或者能量这些概念去描绘物体的运动状态，进而对其运动的实际原因进行详细阐释，再把这种运动背后所蕴含的物理本质清晰地说明出来，这一系列相关作为，其实就是动力学所承接的具体任务。
（4）那被称作质点的，是当物体的几何尺寸，对于所研究问题的几何尺寸而言可以忽略而不计这般情况下，物体就会被视作一个几何点，此几何点能够用一个坐标(x,y,z)去进行表示。上面所讲述的这些内容，既是质点的定义，同时也是物体能不能被看成是质点的判据。
2.基本运动学量
（1）时间，它是用来表示运动持续性的，经典物理学觉得时间是均匀地流逝着的，并且和空间以及物体的运动没有关联。时间间隔与之时刻存在区别，那就是：要是用数轴去表示时间，就像图1-1这个样子，时刻是对应着时间轴上的某一点的，而时间间隔则对应着时间轴上的一条线段。
图1-1
（2）空间、参考系与坐标系。
① 空间表示运动的延展性。
② 参考系是研究质点位置变化时所参照的物体。
③ 坐标系则是参考系的数学抽象。
（3）在坐标系里，存在着位置，质点通过坐标（x,y,z）来展现所处位置，其位置会因坐标系选择不同而各异，具有相对性，在一维情形下，物体坐标需借助一组一维数组x1,x2,..来予以表示。
（4）有一个物理量叫做位移，存在一个质点，它从位置A开始运动，最终到达了位置B，不管这个过程中其走过的路径是怎样的，之后从位置B朝着位置A引出一条带有方向的线段，这是一个矢量，而此矢量就被称作是该质点的位移，就如同图1-2所展示的那样。位移的方向、大小，既和坐标系的选取没有关联，又和经历的路径（其长度被叫做路程）的选取也不存在关系。在解决一维方面的问题时，位移一般会用Δx来进行表示，它的大小是。
其中，位置x1是代数量，位置x2也是代数量，它们本身或许带有符号，其方向是这样的，为由x1指向x2的有向线段的方向。
位移以及路程，皆是用于描述物体位置发生改变的那般物理量，它们存在的区别在于，路程所着重关注的乃是过程，然而位移所着重关注的却是结果，恰似表1-1所呈现的那样。唯有当物体沿着同一个方向去做直线运动的时候，这二者的大小才会是相等的。
图1-2
表1-1
（5）速度，位移随着时间的变化率被称作速度，速度是用于描述位移随着时间变化快慢程度的物理量，它是矢量，它的方向跟位移Δx这个方向是相同的，它的大小是由下面这个式子所给出的：
式中 x2——t2时刻质点所处的末态位置；
x1——t1时刻质点所处的初态位置。
上式呈现的是速度的一种特殊定式，尤其特别要说的是，在那特定假设之下于数学理论上作极限推算的情况，在所选时间间隔Δt无限趋向近乎于0的这个时候，在这样颇为特殊的条件下，此时该式所界定解释的就是质点的瞬时速度，速度的大小被称作速率，瞬时速度的方向沿着运动轨迹的正切线方向。要是Δt选取的时间跨度相对较长，那么上式所定义的就是x1和x2之间的平均速度，也就是位移与所用时间的比值。平均速度的大小不存在特殊的专门称谓，其方向与。
相同。物理学中将路程L和所用时间Δt的比值叫做平均速率。
（6）加速度，它指的是物体瞬时于时间方面速度的变化率，就字面上来开展理解，加速度所代表的意思就是“加速的程度”，加速度是用于描述速度随着时间变化快慢情况的物理量，它属于矢量，其中加速度的方向跟速度的变化Δv方向是存在相同之处的，其大小是依据下式来进行给出的：
式中 v2——t2时刻质点的末速度；
v1——t1时刻质点的初速度。
以上所说的式子乃是加速度的定义式，特别之处在于，当所选取的时间间隔Δt朝着无限趋近于0的方向发展时，在这个时候，以上式子所定义的便是质点的瞬时加速度。一种用于描述瞬时加速度方向的方法是，把该点的加速度依照轨迹的法向以及切向进行分解（所谓自然坐标系），就如同图1-3所展示的那样，其中法向分量an仅仅改变速度的方向，却不会对速度的大小产生改变；切向分量aτ则仅仅改变速度的大小，而不会改变速度的方向。加速度的决定式是牛顿第二定律，也就是a=F/m。
此外，由加速度的定义式能够看出，加速度的方向，跟某时刻速度的方向，其间并不存在必然联系，它们间的夹角，可以是任意的值，然而，加速度的方向，与速度的改变量的方向，是相一致的！
位移、速度和加速度之间的关系，如图1-4所示。
图1-3
图1-4
（7）所谓运动方程，是那种描述物体位置随时间变化情况的方程，被称作运动方程，在一维问题里，运动方程的一般形式呈现为。
，二维问题运动方程的一般形式为
其中，时间t是作为一个参数存在的，这个参数能够被消去，消去之后就可以得到轨迹方程，拿平抛运动当做例子。
3.质点运动形式的判据
高中阶段，我们常会遇到以下两个质点运动形式的判据：
（1）当质点的初速度与加速度平行时，质点做直线运动。
（2）当质点的初速度与加速度不平行时，质点做曲线运动。
4.一般直线运动的基本规律
需要精准地去讲述通常的那种直线运动，就得运用到微积分，在高中的时候这个阶段里面呢，单单是依据平均速度粗疏地去刻画最为平常的直线运动，也就是。
这个处理，就如同将一般直线运动当中的那些细节，像是速度、加速度以及时刻变化等 ，通通给抹去 ，接着采用一个 “匀速直线运动” ，使其等效替代复杂异常的一般直线运动。
5.匀变速直线运动的规律
1）物理图像的一般性描述
物理图像源自数学图像之中，数学图像含六个要素而成 ，这六个要素分别是坐标轴 ，然后有坐标点 ，坐标点的运动进而形成了曲线。另外还有曲线的截距 ，以及斜率 ，还有曲线与坐标轴所围成的面积。其中坐标轴乃是构成图像的基础所在 ，而后才能够有坐标点的存在 ，坐标点的运动便使得曲线得以形成。人们运用截距 ，也就是边界条件 ，还有斜率 ，即变化率 ，以及与坐标轴所围成面积 ，来对曲线的种种性质予以描述。
把上述的数学图像，直接进行平移，从而得到物理图像的六要素，而其物理意义，如同表1-2所展示的那样。
表1-2
2）匀变速直线运动的规律
展示出来的是，像图1 - 5那样的匀变速运动曲线。而在表1 - 3之中，对匀变速直线运动所涉及到的公式进行了介绍。
图1-5
表1-3
3）匀变速直线运动其他一些常用的结论
（1）正如图1 - 6 （a）以及图1 - 6 （b）所展示的情形那样，在1T这个时间段之内，在2T这个时间段之内，在3T这个时间段之内，一直到在nT这个时间段之内，所对应的位移分别是x1 ，x2 ，x3 ，一直到xn ，它们之间的比值是。
（2）如在图1 - 6（a）与图1 - 6（b）呈现的那般，于1T末的时候，在2T末的阶段之中，处于3T末的情形之下，一直到nT末的状况里，其速度v1，还有速度v2，以及速度v3，一直到速度vn，它们的比值是。
（3）如同呈现于图1 - 6（a）以及图1 - 6（b）那样，于第1个T的时段范围以内，在第2个T的时段范围以内，处于第3个T的时段范围以内，一直到，抵达第n个T的时段范围以内，其所对应的位移x1，x2，x3，一直到，直至xn，它们之间的比值是。
（4）如同图1 - 6（c）所呈现的那样，从处于静止状态开始，经过第1个Δx，经过第2个Δx，经过第3个Δx，一直到经过第n个Δx，所耗费的时间分别为t1，t2，t3，一直到tn，它们的比值是。
图1-6
6.几种图像的对比
如表1-4所示为x-t、v-t、a-t三种图像的对比。
表1-4
7.匀变速直线运动的几个特例
如表1-5所示，介绍了匀变速直线运动的几个特例。
表1-5
例题详解
A、B两地之间的距离时长为L，有一辆汽车，这个汽车从A地前往B地所使用的时间期限是T，在此种状况之下进行询问：（1）在整个行程范围之内的平均速度是多少。
车辆在从A地前往B地的进程中，前半段时间的平均速率为v1，后半段时间的平均速率为v2高中物理直线运动视频，这种情况下全程的平均速率是多少呢？汽车于从A地至B地的行程里，前半段位移的平均速度是v1，后半段位移的平均速度是v2，那么全程内的平均速度究竟是多少呢？是多少？
在＜模型分析＞当中，对象模型是汽车，它可被当作质点看待。所说的过程模型是一般直线运动，至于匀速直线运动以及匀变速直线运动则不属于此列。而模型所对应的规律，仅仅只是平均速度的简单定义罢了。
（1）依照题意，作出情境图，如图1-7所示。
根据平均速度的定义，有
（2）依照题意，作出情境图，如图1-8所示。
图1-7
图1-8
根据平均速度的定义，有
所以，根据第（1）问，有
（3）依照题意，作出情境图，如图1-9所示。
图1-9
根据平均速度的定义，有
所以，根据第（1）问，有
物理概念是用于讨论物理问题的根基所在，而物理概念的定义则是更为关键之所，它是物理概念的实质以及精华部分，借助抓住物理概念的定义来完成计算以及推导之事，此时仅用寥寥几笔所画出的情境图便发挥出了其应有的作用。另外还有一点需要予以说明，问题里的那3个平均速度皆是相等的状态，而之所以将其称作为平均速度，原因在于忽略掉中间阶段的运动细节之后，从整体层面获得的那种速度。
如图1-10所展示的，是高速摄影机拍摄的，子弹穿透苹果瞬间的照片。经过放大之后进行分析得到，在曝光的这段时间之内，子弹影像前后错开的距离，是子弹长度的1%至2%。已知子弹飞行速度大概是500m/s，依据这些条件能够估算出，这张照片的曝光时间，最接近（）
A.10-3s B.10-6s
C.10-9s D.10-12s
图1-10
剖析＜模型解析＞中，对象模型为：子弹 ，过程模型则是：将子弹在曝光瞬间的运动视作匀速直线运动 ，模型所对应的规律是：v=Δx/Δt ，要是确定了位移以及速度 ，便能够算出曝光时间。此题目属于估算类题目 ，估算类题目绝不能盲目猜测 ，一定要依据物理规律去作答。
影像前后错开的那段距离，它就是子弹于曝光时间之内所产生的位移。此道题目，它同时还是一道涉及数量级估计方面的题。
首先，子弹长度当属若干厘米的数量级，也就是有10 - 2m数量级。接着，依据题设条件来看，错开的距离也就是位移，它是子弹长度的1%至2%。其中，10 - 2乘以0.01m等于10 - 4m数量级。
速度：子弹的速度是500m/s，也就是102m/s数量级；
因此，相应的时间为
所以，答案选B。
将【例1 - 3】中所述情况呈现出来，一人目睹闪电过后，经过12.3s才听到雷声，这里面已知空气中声音传播的速度范围是330～340m/s，光传播的速度约为3×108m/s，然后此人运用12.3除以3的方式迅速估算出闪电发生的位置到他自身的距离是4.1km，基于你所学习到的物理知识能够进行判断（）
A.这种估算方法是错误的，不可采用
B.这种测算方式能够相对精准地测算出闪电出现地方同观察者之间的距离。
C.这种估算方法没有考虑光的传播时间，结果误差很大
D.即使声速增大2倍以上，本题的估算结果依然正确
分析解决＜模型分析＞，其中对象模型为：存在两个研究对象，分别为光的运动以及声的运动。而过程模型是：在空气中，这两种运动都能够近似当作是匀速运动。
＜条件分析＞已知空气中的声速为330～340m/s，光速为
首先，光速远远大于声速，所以由此简化而得光运动的时间趋向于零，然而雷声运动的时间接近12.3秒，闪电发生位置到人的距离通过公式s = vt来计算，其中v为330米每秒，所以s等于12.3乘以330米，约等于4.1千米，B选项正确。
（2008年，上海），某物体，以30m/s的初速度，竖直上抛，不计空气阻力，g取10m/s2，在5s内，物体的（）
A.路程为65m B.位移大小为25m，方向向上
C.D选项中，平均速度的情形是这样的，其大小是13m每秒，并且呈现出向上这样的方向状态 ，速度改变量的大小是10m每秒。
分析＜模型解＞，对象模型为：某物体，此物体能够被视作质点。环境模型是：匀强重力场。过程模型则为：竖直上抛运动。
初始条件是，v0等于30m/s ，时间条件为，自抛出之后，历经5s这样的时间。
抛物体后，因初速度与加速度方向相反，物体做匀减速直线运动，速度减为0时，物体达到最大上升高度。如图1-11：设物体上升到最大高度经历时间为t0，选竖直向上为正方向，有。
相应的最大高度为
图1-11
能够看出，当物体运行至题设所给到的5秒之际，物体已然处于下落的进程当中，所以，物体从最高点自由下落2秒的高度以及速度是。
所以，在5s时长内进行运动期间的路程是L，L等于hmax加上h0，其结果为65m，所以A选项是正确的。
在5秒的这段时间内，位移的大小呈现为Δx 等于 hmax 减去 h0，也就是25米。其方向是竖直向上的，所以B这个选项是正确的。
在5秒的时间范围之内，速度所产生的变化的量呈现为Δv等于v减去v0，而v的值是负20米每秒，v0的值是30米每秒，二者相减之后得到的结果是负50米每秒，基于这样的情况，所以C选项是错误的。
平均速度的大小为
，所以D选项错误；
平均速率为
方法2：接下来，从物理规律所呈现的几何语言着手，借助物理图像去处理此问题，如图1 - 12里所展示的那样，具体的计算和方法1是相同的。
图1-12
【例1-5】 （2008年，全国）已知O点、A点、B点以及C点处于同第一条直线之上这些点，AB之间所经历的距离是l1这个数值，BC之间存在的距离是l2这个数值，有一个物体从O点开始处于静止状态出发，沿着这条直线进行匀加速形式的运动，按照顺序依次经过A这个方位一点、B这个方位一点、C这个方位一点，已知状况是物体通过AB这段距离与BC这段距离的时候所使用的时间是相等的，求O点与A点两处之间的距离是多少。
解，＜模型分析＞，对象模型为质点，过程模型是匀加速直线运动，呈现如图1-13所示的状态。
图1-13
<条件分析>，中间两段相邻的距离，其时间是相等的，而且，这两段距离的长度是已知的。
力求尽可能多地去运用已有的量，尽量减少未知数的引入，假设经过A点时的速度是v0，那么便产生了。
存在4个未知数，然而仅有3个方程，针对处理这类问题而言，有一种方法是：把其中两个未知数存在的某种组合，这种组合多半是乘积或者商，将其当作一个未知数，借此达成消元的目的。
由式①得
下面的任务就是找出v20和a的表达式，并且消去时间t。
将式②代入式③，可得
式②×3-式⑤，整理，得式⑤-式②，整理，得
将式⑦代入式⑥，得
将式⑧代入式④，得
在水平直轨道之上，存在两辆汽车并行。二者之距离，为s。起始之时，A车其位置处于后边，以初速度v0起步，加速度大小设定为2a，正对着在前边的B车，做匀减速之运动。而B车于此同时，由静止状态开始启动，做匀加速之运营，加速度大小为a。此两车之运动方向起步网校，保持相同。试展开论证，v0、s以及a，它们之间满足怎样的关系之时，两车会碰撞、不会碰撞。
解，＜模型分析＞，对象模型：将汽车A以及B视作质点。过程模型：汽车A开展初速度并非为0的匀减速直线运动，汽车B进行初速度为0的匀加速直线运动，如图1-14所示。
汽车A和汽车B，一开始它们之间的间距为s，汽车A加速度的大小比汽车B加速度的大小要大，表示为绝对值的话，汽车A加速度的绝对值大于汽车B加速度的绝对值。
方法1：有这样一种情况，如图1-15所示，在t小于t0的时候，A车的速度比B车的速度要大，所以在这个阶段，两者之间的距离处于持续增大的状态。当t等于t0时，两车的速度变得相等，也就是两车的相对速度为0，此时两车之间的距离达到了最大值Δxm，而这个最大值对两车日后相遇的情况起到了决定性作用，那就是。
如果
那么两车在t0时刻相遇，并且只相遇这一次；
如果
那么两车不能相遇；
如果
然而，存在两车相遇两次的情况，可是，其前提条件是，两车进行第二次相遇的这个时刻，绝对应当处于A车停止运动的时间之前。
图1-14
图1-15
方法2：该问题，我们是从纯代数的视角来进行思考的。假定在t时刻的时候，两车相遇了，而相遇之际，它们针对于同一个参考系（此参考系是以A车的出发点作为坐标原点的）而言，其位移理应是相同的，也就是。
将xA和xB展开，有
整理，得
这是一个关于t的二次方程，讨论其判别式：
如果
方程无实根，说明两车不相遇；
如果
方程有1个实根，说明两车相遇1次；
如果
方程有两个实根，说明两车相遇两次。
这与上面图像方法讨论的结果是一致的。
【点拨与提高】 我们关注两车相遇两次的情况，这个时候有
然而，这件事仅仅给出了s的上限范围，而我们所关注在意的是s的下限范围，原因在于，当A车放慢速度而后戛然而止之后，便不会再次朝着相反方向折返回归；故而，方程（1）会在A车停止进行运动之后出现不符合物理实际情景状况的增根。我们首先把方程（1）的求解根的范围限定在A车停止运动之前，设定A车在t0这个时刻停止运动，也就是。
再通过求根公式，算出式①中最大的根
也就是说tmax必须落在区间中，即
解不等式，得
即两车相遇两次的条件为
s处于的那个区间，其左端点是能够取得到的，换而言之，就是在A车刚好停止运动的那个时刻，两车会第二次相遇。
存在一名身处第一节车厢最前端旁边站台上的观察者，由于列车自静止起做匀加速直线运动，致使第1节车厢全越过观察者所在位置经历时长为30s，整个列车完全经过观察者所在位置所需时长是120s，并且每一节车厢长度均相等，在此情形下问：
（1）该列车一共有几节车厢？
（2）最后一节车厢经过观察者所在位置历时多长？
（3）第n节车厢经过观察者所在位置历时多长？
理解＜模型细分剖析＞，对象模型为：将其视为质点的观察者，还有每一节长度相等的列车。过程模型是：观察者处于静止状态，火车相对于该观察者进行匀加速直线运动高中物理直线运动视频，这等同于火车位于静止状态，观察者相对于火车开展匀加速直线运动。
（1）假设呢，每一节车厢它的长度是L，火车的加速度是a，并且呢，t1这个时间等于30秒，t这个时间等于120秒。
所以，有
（2）要是仅仅考量第16节车厢（时间设定为t16），那么问题会变得极其复杂，我们不妨去考虑火车的前15节车厢经由观察者的历程时间t15，依照这样的情况，t16=t-t15。
所以
（3）如同第（2）问那般，去思索借助第n - 1节的时间tn - 1，以及第n节的时间tn。
所以
有一个光滑的小球的情况，呈现于如图1-16中，其第1次系从A点经由静止状态开始，沿着AB管滑行至C点，此过程历时T1，第2次同样是从A点由静止起始，沿着AD管运行至C点，该过程所历经的时长为T2，这里已知s1大于s2，且B、D两点处于同一水平线上，在此条件下试对T1大于T2开展证明。
分解＜模型分析＞的对象模型为：质点。再看其过程模型，其一为：先经由倾斜度高（加速度大）的斜面，之后又通过倾斜度低（加速度小）的斜面的过程；其二是：先经过倾斜度低（加速度小）的斜面，往后又通过倾斜度高（加速度大）的斜面的过程。
＜条件分析＞
由如图1-17所显示的v-t图像能够看出，不管小球贯穿哪条通道，其总的位移均为AC，所以，在v-t图像范围内，两条过程曲线（分别为OPQ、OMN）和横轴所围住的面积是相同的，故而，存在T1＞T2。
图1-16
图1-17
从某高处垂直自由落下一根长度为L等于1.45米的直杆，在其下落行程里有条历经高度H为2米的窗口耗时t是0.3秒的情况，尝试去求出杆靠下一方的一开始所处位置到窗户台处的的高度h0，其中g被设定为10米每二次方秒啦。
<模型分析>中之对象模型为长度是L的直杆，过程模型是自由落体运动，因直杆每部分的运动皆相同也就是整体平动，故而我们能够挑选直杆上任意一点的运动用以取代整根杆的运动，为便利起见，我们选取直杆的下端点B作为研究对象，如此一来，我们便将一个刚体的运动学问题转化成了一个质点的运动学问题。
＜条件分析＞杆凭借什么通过窗口呢，其含义是，从杆的下端点起，当这个下端点通过窗口（也就是黑色粗线表示的部分）的上沿时刻开始计算，一直到杆的上端点通过窗口的下沿为止。并且还提出选取了下端点B来做自由落体运动这一情况啦。
方法1：如图1 - 18所示，设B端从起始位置出发，到达窗台上沿，这个过程所用时间为t1 ，从起始位置开始，直至A端通过窗口下沿，此过程所用时间为t1 加上t。
图1-18
所以，解得
所以，有
所以
方法2：设定直杆下端点B抵达窗户上端之际的速度是v1，直杆完整通过窗户之时的速度为v2，依据平均速度的定义，存在。
联立式①②，可得
所以
最后得