假如我们真的抓住了一个空气分子，会看到什么？
它不会如同天气图里的箭头那般, 规规矩矩朝东边朝着西边, 它以每秒数百米的典型速度横冲直撞, 持续碰撞, 持续转向, 房间当中明明不存在风, 它却片刻都不安静。
那么，天气图上一阵每秒五米的风，又藏在哪里？
若知晓每一个分子的位置, 以及其速度, 还有碰撞规律, 那么我们是不是能够从牛顿定律着手, 一步步地“写出”温度, 以及压强与流动, 最终获取描述风的方程呢?
2026年, 王虹登上菲尔兹奖领奖台, 邓煜也登上菲尔兹奖领奖台。国际数学联盟特别提到邓煜从事的从稀薄硬球动力学严格导出玻尔兹曼方程的工作, 他们与扎赫尔·哈尼、马骁将道路推进到了流体方程。
它在追问, 此为一个关键问题, 即我们凭何所信, 风由亿万颗粒子共同生成, 而其究竟能否实实在在地出自支配单个粒子的物理定律呢？
01 领奖台上，聚焦的是一道什么难题？
1900年的时候, 希尔伯特提出了一组数学问题, 其中第六问题的目标是极其宏大的, 它要为物理理论当中的公理以及极限过程构建起坚实的基础, 后来, 它衍生出了一条具有代表性的路线。
想象有一盒稀薄气体, 将镜头推近, 能看到粒子, 这些粒子服从牛顿定律, 在碰撞时动量与能量是守恒的, 再把镜头拉远一些, 会看到粒子在位置以及速度方面存在统计分布, 接着把镜头再拉远, 此时气体变成了一种连续流体, 这种连续流体是由密度、温度、压强还有速度来进行描述的。
一盒稀薄气体
同一团物质物业经理人，却能够拥有着三套语言。
微观：每个粒子在哪里、速度多大；
介观：某处具有某种速度的粒子有多少；
宏观：这里的密度、温度和平均流速是多少。
一种种“语言”恰是牛顿方程、玻尔兹曼方程与, 流体方程所诉说描述之物。方程已然存在, 且状况清晰明显, 然而它们彼此之间, 横亘着一座历经百余年却仍未被完全跨越连通的桥梁。
此次菲尔兹奖便照亮了这其中的关键路段。
02 用经典物理解决问题的鸿沟是什么？
在室温条件下, 空气当中的分子其热运动的典型速度能够达到每秒数百米的程度, 并且这个速度相比于微风而言实在是要大出很多。置身教室里, 却并没有出现“高速狂风”这般的情况 ，这是由于杂乱无章的运动在大尺度方面相互抵消了。能够将某个分子的速度写成这样的形式:
对于其中, u 所代表的是附近大量分子的平均速度, 也就是宏观气流的速度。ci 指的是无规则热运动。风, 主要是潜藏在平均值 u 当中。温度, 是和热运动偏离平均值的强弱存在关联的。
没风的时候, 分子没停下, 只是速度矢量的平均值快要接近零了。平均速度小, 并非意味着每个分子的速率都小。
实际当中的风是被气压梯度所驱动, 并且会受到地球自转, 摩擦以及地形等方面的影响。那么, 用于描述气流的方程究竟为何能够从分子运动里产生呢?
仅仅一颗的分子自身同样不存在“这单独一小颗的温度”或者“压强”, 温度是用于衡量大量粒子做无规则运动时那种强弱程度的, 压强则和粒子传递动量的方式存在关联, 从群体概念的角度来理解便是, 单个一位学生迈出的脚步没办法呈现出全校人流动的状况, 然而通过统计便能揭示出到底是拥挤还是有特定流动方向这种情况。
倘若气体内部存在着 N 个粒子, 那么要去记录位置以及速度进而就需要大约 6N 个变量。实际上真实的 N 大到令人极为震惊且诧异, 所以我们根本没有办法逐个进行跟踪。
于是, 物理学开展了另外一种研究方式, 不再去追寻某一个有着特定名字的分子了, 而是转向了对这些分子的分布函数展开研究。
它所表达的是, 在时刻t, 于位置x附近, 速度趋近于v的那些粒子究竟有多少存在。粒子已然丧失了单独的姓名, 而我们作出的选择是留下这些粒子的“群体画像”。
这幅“画像”如何发生演化, 是依靠玻尔兹曼方程来进行描述的。方程左边所呈现的乃是自由飞行的情况, 方程右边所展示的则是因碰撞而产生的增加或者减少的状况。
这里存在着鸿沟, 两颗粒子发生碰撞之后就有了关联, 它们会传播这段“共同经历”, 甚至还会再次相遇。然而, 玻尔兹曼方程要在恰当的意义上把即将相撞的粒子看作近似独立。并且, 这个假设没办法依靠一句“气体很稀”来完成证明。
首先, 需要证明的是, 当粒子数量呈现增多趋势, 直径出现减小情况, 并且稀薄程度按照合适比例发生变化时, 这种复杂关联依然受到控制, 进而牛顿硬球系统会逐渐趋近玻尔兹曼方程。接着, 在另外一种尺度极限的情形下, 分布缩拢成为由密度、速度、温度等等的少数变量所构成的状态, 而且满足流体方程。
所以, 我们察觉到了那真实的路线, 此路线是从每一个粒子的确定运动开始, 历经大量粒子的统计分布, 而后迈向流体的集体规律。
03 这座从粒子到流体的桥怎样搭起来？
粒子世界——每次碰撞都要“留痕”
理想模型被研究采用, 特定粒子是带有有限直径的硬球, 相遇之际会产生瞬时弹性碰撞, 碰撞时守恒总动量以及总动能, 两次碰撞的空隙间沿直线自由飞行。
并非对真实空气所有细节都进行复制的硬球, 却留存了稀薄气体的关键结构, 像自由飞行、短程碰撞以及守恒律。存在的问题是, 在粒子数趋向于极大的时候, 这些微观运动是否会展现出同一种统计规律。
动理学世界——不去问“它是谁”，只问“有多少”
针对速度, 通过分布函数 f 来做与众不同的加权平均, 如此这般, 就能够将密度、平均流速以及温度等宏观量给提取出来。这与体育场内每种做法, 即针对每名观众的坐标, 把它压缩成各入口的人数、方向以及拥挤程度相类似, 尽管信息有所减少, 然而却把大尺度结构给保留了下来。
已有的, 短时间内得出的结果, 好似是在表明, 一座桥能够让人迈出起始的那前几米路程, 然而, 却依旧没办法确保可以顺利抵达对岸, ——随着时间逐渐变长, 碰撞树会急剧地出现分叉现象, 并且, 再碰撞以及高阶关联会成倍地增多起来, 误差有可能会顺着整个“碰撞家谱”不断积累。
邓煜、哈尼和马骁的工作，关键推进正发生在这里。
针对硬球动力学论文, 他们构建了长时间累积量方法, 该方法能保存完整碰撞历史。为梳理众多碰撞关系, 他们将相关碰撞图称作“分子”。还利用精细切割算法剖析其组合结构, 以此证明高阶累积量维持足够小。
简单来讲, 他们并非装作不清楚复杂碰撞的实际状况, 反倒构建出严密的极具章法体系的“族谱型管理办法制度”, 以此指出即便极具困扰性的关联仍旧会出现, 可于所研讨的极限范围下它们不会呈现极度失控的局面。
由此, 从硬球系统那儿导出玻尔兹曼方程的有效时间, 从短时间被推进到任意长时间, 当然呀, 这里必须得加上限定: 只要对应的玻尔兹曼方程的解依旧是存在的。
流体世界——亿万速度浓缩成几个场
玻尔兹曼方程依旧得同时对位置以及速度予以处理, 要是想得出“风的方程”, 还必须证实, 在合适的尺度之下, 频繁的碰撞致使局部分布趋向于平衡, 并且缓慢变化的密度、速度还有温度是遵循流体方程的。
在另外一篇论文里头, 有三位从事研究的人员, 将先前的长时间得出的结果, 跟从动理学一直到流体力学的极限分析衔接起来, 以硬球粒子系统作为起始点, 严谨地推导得出了, 涵盖可压缩欧拉方程、不可压缩纳维—斯托克斯—傅里叶方程的基本流体偏微分方程。
描述忽略黏性时理想流体的是欧拉方程, 包含黏性与热传导的是纳维—斯托克斯—傅里叶体系高中物理微分方程高中物理微分方程，它们是空气动力学、工程流动以及天气模型的重要理论基础。
于是, 在这一模型与尺度框架之下, 三层语言头一回被一条严谨的证明链给连接起来了, 这条证明链为: 牛顿硬球动力学, 玻尔兹曼动理学, 欧拉方程或纳维—斯托克斯—傅里叶方程。
前一个箭头, 将“逐个追踪”转变为“统计分布”, 后一个箭头, 又把分布压缩成少数宏观场。获奖工作的重要性, 在于让两段桥, 不止各自存在, 还能在同一条推导道路上衔接。
这表明, 起码针对所探究的稀薄硬球系统而言, 宏观规律可以作为大量微观运动的极限, 从经典力学当中衍生出来。
作用于整座桥的正是那获奖工作。贡献方面, 国际数学联盟清晰且强调了邓煜, 其贡献为从稀薄气体硬球动力学严格导出玻尔兹曼方程。工作内容在合作论文里, 又将推导链连接至流体方程。
04 为什么这座桥让科学家走了百余年？
可能你会这么疑惑, 既然粒子遵循牛顿定律, 流体是由粒子构成的, 那为什么不可以将方程直接加起来, 进行平均操作就完事呢?
因为“平均”从来不是一个万能的自动按钮。
蘭福德定理于1975年发表, 曾筑起一块具有里程碑意义的理论, 即在稀薄硬球气体的恰当极限情形下, 能够从粒子动力学严格推导出玻尔兹曼方程。然而其证明仅涵盖非常短的时间, 远远无法抵达宏观流体演化所需的长时间尺度。自那以后的近半个世纪, 要怎样把这段路程继续予以延长, 始终是核心障碍之一。
牛顿定律、动量守恒、温度以及压强, 并非是孤立存在的知识点, 继续追问下去, 便会来到概率、偏微分方程、空气动力学乃至气候科学的交融之处, 一个平均值、一次弹性碰撞, 同样有可能是迈向前沿的第一块踏板。
实在分子相较于硬球更为繁杂, 稠密流体连同湍流依旧存在深远难题, 三维纳维—斯托克斯方程的整体光滑性同样尚未得到解决。每一道被开启的门, 均会展现出更为宽广的走廊。
所以，未来的年轻人不必只做知识的接收者。
你能够发问: “为什么? ”也能够接着问: “凭什么? ”还能够再度问: “要是条件变动, 结论会变成什么样? ”这些问题看上去显得稚嫩, 却是科学将“想当然”转变为“确实如此”的起始点。
兴许某个日子, 当你于窗边察觉到一阵风, 不单单会联想起空气由高压之地朝低压之所流动趋向, 尚且会联想到无数的分子正处于高速相互撞击状态；联想到在无序之中怎样萌生出平均值, 个体遵循的规则怎样汇聚成集体的有序状态；联想到有为把这两个世界相联结, 历经了百多年时间。
而下一段尚未搭好的桥，可能正等着你。
我们都是这样年轻地走向未来
主要参考资料
1. Union,
2026
从长时间的艰难中来, 艰难所历经的时间是长久的。
, arXiv:2408.07818.
, arXiv:2503.01800.
4. NASA Glenn ,
Gas
Gas
–
5. NOAA ,
The of Wind
6. ECMWF,
Earth at ECMWF