2 哈密顿定理（'s ）
以下这样的定理，被称作定理 2，也就是哈密顿第一定理，若开普勒第二定律得以成立，并且物体运动的轨道呈现为椭圆的形状，那么物体速度矢量所构成的图形就是一个圆形。
定理3，也就是哈密顿第二定理表明，要是有一个物体，它在那种与距离平方成反比的中心力的作用之下，围绕着固定点进行运动，那么它的速度矢量图，呈现出来的将会是一个圆。
用一个简单例子来说明何为速度矢量图，我们把物体初始时间就具有的水平速度当成描述速度矢量图的基础，这个速度是恒定不变的，始终保持同样大小往前推进。物体在竖直方向上的速度，从刚开始的零起步，然后以均匀的方式增加。在图2(a)里，借助特定的操作，把速度的起点移到同一个点O，速度的终点，诸如A、B、C、D、E……它们处于同一条竖直线上，这些由速度终点构建而成的图形被称作速度矢量图。很明显，平抛运动所对应的速度矢量图呈现为一条竖直线。在速度矢量图那儿，任意相邻两点间的有向线段是该过程的速度变化量ΔV ，速度变化量ΔV 的方向跟物体加速度方向以及力的方向相一致。平抛运动的速度矢量图是一竖直线，据此能求出做平抛运动的物体所受重力方向是竖直方向。要是把该速度矢量图进行90°的旋转，能得到其旋转90°后的速度矢量图是一条水平线，它与重力方向相垂直，就像图2(b)所展示的那样。
2.1 哈密顿第一定理的证明
呈图 3 所示，制作一个有着焦点为 F1、F2 的椭圆轨道，当中 F2 是太阳所处位置，A 为远日点，B 为近日点，此椭圆的半长轴是 a，半短轴是 b，半焦距是 c。设 P 为椭圆上的任意一点，以 F2 为圆心，2a 为半径作出圆，连接 F2P 并进行延长，与圆的交点是 U，连接 F1U，过 P 点作出椭圆的切线 l，l 与 F1U 的交点为 X ，过 F2 作出 l 的垂线，垂足是 Y。
由椭圆的光学性质 ∠XPF1 = ∠YPF2 (1)
由对顶角得 ∠UPX = ∠YPF2 (2)
由(1)(2)两式得 ∠XPF1 = ∠UPX (3)
2a = UP + PF2 = PF1 + PF2 (4)
由式(4)可得 UP = PF1 (5)
由(3)(5)两式得 UF1⊥l，即 UF1⊥v (6)
由开普勒第二定律得
(8)
由推论 1 得
(9)
由(7)(8)(9)三式得
(10)
(6)式与(10)式得出结论，体现了行星，出现了旋转90°的情况，速度矢量图呈现为一个圆，此圆之内，圆心处于太阳所在之处，所有速度矢量的起始点，是椭圆另一个的焦点，终点位于这个圆上，哈密顿第一定理由此得到证明。
2.2 哈密顿第二定理的证明
假设行星运动轨道形状处于未知状态，为了能更便于进行说明，就如同图4所呈现的那样，现在把太阳当作固定的点，将轨道平面按照角度平均划分成8块，每一段轨迹针对于太阳的张角都是。
设有一分割线，其与轨道交点处存在分别以Vn标示的速度，接着把这8个速度矢量的起点移至一个固定点，状态犹如图5所呈现的那种，随后把8个速度的终点按照顺序相互连接，如此一来便会形成一个正八边形。
相邻两速度的终点相连的有向线段为
ΔV = Vn－Vn－1 (11)
由万有引力定律得
(12)
由牛顿第二定律得
(13)
能够轻易证实，要是物体所受合力方向为径向，那么开普勒第二定律会成立，也就是角动量守恒。
由(12)(13)(14)三式得
(15)
如图5(a)所示，轨迹上相邻两点，在万有引力作用下，转过相同角度Δθ，之后每个有向线段ΔV长度相同，后一速度变化量相对于前一个逆时针旋转了Δθ角，所以速度矢量的终点依次连接，形成了一个正八边形，当分割的边数趋于无穷大时，正多边形变成圆，哈密顿第二定理证毕，应当注意的是一流范文网，该圆的圆心O并非速度矢量的起点F。首先，将该速度矢量图进行旋转，旋转的角度为90°，之后得到了旋转90°的速度矢量图，它呈现出如图5(b)所示的样子。然后，不难发现，旋转了90°的这个速度矢量图依旧是一个圆。并且，速度矢量的起点处是圆内某一个固定的点。同时，所表示，与各自各个速度对应的那些有向线段，其大小是保持不变的。而且，这些有向线段的方向与速度是相互垂直的。
3 由开普勒定律推导万有引力定律的几何证明
紧接着，论文会去证实，依据开普勒定律能够推导得出万有引力定律，也就是说所提及的行星运动时受到的那个力是有心力，该有心力指向太阳所处的位置，也就是椭圆的其中一个焦点，并且，力的大小跟距离的平方呈现出反比关系。
通过图3以及定理2亦被称作为哈密顿第一定理而得出，在符合开普勒第一定律和第二定律的情形下，旋转90°的速度矢量图呈现为一个圆，此圆的圆心处于太阳所在之处，所有速度矢量的起始之地是椭圆的另一个焦点，其终点位于该圆上，就如同图6所展示的那样。
于图6里面，截取一段极为短暂的时间Δt，速度矢量尽头自U处顺着圆弧线朝W处迁徙，存在有向线段。
在这个过程当中，存在旋转90°的情形，此时速度变化量是ΔV，与之相同的是，除此之外还有另一个速度变化量ΔV且方向垂直于该过程的速度变化量ΔV。另外，当Δt选取的时间非常短时，会出现有向线段。
沿着该圆的切线所指的方向，据此就能够得到于此过程之中的速度变化量ΔV，它垂直于该圆的切线方面，也就是顺着径向的方向，行星在围绕太阳进行运动的进程里面，它的加速度以及所受到的力，与速度变化量ΔV的方向是一样的，也就是都沿着径向的方向，行星受到太阳的引力是有心力。
由开普勒第二定律得单位时间内扫过的面积
由矢量三角 形 ΔF1UW 类比得
(17)
由(10)(17)两式得
(18)
由几何知识得 UW = 2aΔθ (19)
由牛顿第二定律得
(20)
联立(16)(18)(19)(20)四式得
(21)
其中 k 是一个与行星有关的常数。
椭圆的面积为 S = πab (22)
行星运动的周期
(23)
由开普勒第三定律
(24)
联立(21)(23)(24)三式得
(25)
4π2k1 是一个与行星无关的常数。
4 开普勒三定律的几何证明
4.1 开普勒第一定律的几何证明
鉴于太阳针对行星施加的万有引力属于保守力，且是有心力，因而行星于运动历程之中机械能保持守恒，角动量也保持守恒。
不妨设
(28)
由机械能守恒，得 R 为一定值。
图 7 显示，设有一行星绕太阳运行，其轨道为 Г，此轨道形状未知，太阳位于 O 点处。A 点以及 B 点，分别是行星在运动进程里的远日点与近日点。依据哈密顿第二定理得知，速度矢量图经旋转 90°后呈现为圆。假定这个圆是以 O 作为圆心，且以 R 作为半径的。随后，要去确定速度矢量的起点 F 以及速度大小与相对应的有向线段的比例系数。
A、B 的势能处于极值，同时 A、B 的动能也是极值，由此可知，A、B 对应的速度垂直于 A、B 同 O 的连线，在旋转 90°后的速度矢量图里，速度矢量垂直于对应的有向线段，进而能够得出，速度矢量的起点 F 在 AOB 直线上。
由图 7 可得 FU1 + FU2 = 2R (29)
对 A、B 两点由角动量守恒可得
L = mv1r1 = mv2r2 (30)
由于 FU1、FU2 为 A、B 两点速度对应的有向线段
由式(29)(30)(31)得
由式(32)得速度矢量的起点为圆内一固定点。
不妨假设这样的情况，在轨道上任意选取一点P，此点的速度，与对应的有向线段FU之间存在一种关系，这种关系是FU = kv。(33)。
对 A、B 两点由能量守恒定律得
先把式(30)代入式(34)，从而消掉 r1，r2 ，之后，把(34)里的两式进行相减，接着再整理，得到。
由式(32)(35)得
(36)
对比(33)(36)两式可得比例系数
(37)
从以上所做的分析能够得到，存在着这样一种情况，即经过旋转 90°之后的速度矢量图，它有着如下的性质。这个经过90°旋转的速度矢量图呈现为一个圆的形态；速度矢量的起始点 F 处于圆内的一个固定位置，速度矢量的终点位于圆上；任意一点的速度 v 与对应的有向线段相互垂直，并且比例系数是一个固定不变的值。
像图8里面所呈现的那样，太阳有着质量M，它处于O这个点上，有一颗质量是m的行星，其一开始的位置是P0，初始速度为v0，v0跟。
的夹角为 θ0高中物理椭圆轨道，接下来要证明行星运动的轨道为椭圆。
将圆心设定为太阳所在的位置 O，并以 R 作为半径作出一个圆，接着连接 OP0 并进行延长，使其与该圆相交，此交点即为 U0高中物理椭圆轨道，随后作出 U0 针对于初速度 v0 的对称点 D，这是一个固定不变的点。选取行星在其运动过程里的任意一点 P，假设在 P 点的速度是 v，连接 OP 并予以延长，使其与圆相交，得到的交点是 U，OP 跟速度 v 所形成的夹角为 θ，速度 v 与 DU 的交点是 X。
由机械能守恒得
(38)
由角动量守恒得 L = mv0 r0 sinθ0 (39)
由几何方面的关系得出，DU0等于2乘以括号R减去r0括号再乘以sinθ0，（40）
由三式(38)(39)(40)得
(41)
将三式（33）、（37）、（41）相互进行对比，能够得出，图8里的D点，和图7中速度矢量的起点F，二者是同一个点，图8中的圆，跟图7中旋转90°后的速度矢量图，是同一个圆。依据旋转90°后的速度矢量图的性质，可知行星运动轨道上任意一点P的速度v，与对应的有向线段DU，满足以下关系。
由角动量守恒得 L = mvr sinθ (43)
由机械能守恒得
(44)
由几何关系得 UX = (R－r) sinθ (45)
得三式(43)(44)(45)得
(46)
由两式(42)(46)得
(47)
由式(47)得
为等腰三角形
即 DP + OP= R (48)
行星在运动进程里，到达两个固定点D、O的距离加起来是一个固定的值R ，此R乃椭圆的长轴，因而行星运动的轨迹是椭圆，D、O是椭圆的焦点，如此一来，开普勒第一定律就得到了证明。可以进行令。
R = 2a（a 为行星运动的椭圆轨道的半长轴）(49)
4.2 开普勒第二定律的几何证明
单位时间内扫过的面积
(50)
由于角动量守恒，所以容易得出，行星跟太阳的连线，在单位时间之内扫过的面积是相等的。
4.3 开普勒第三定律的证明
先在图 8 的基础之上作出图 9 ，图 9 里，椭圆是行星运动的轨道，设定这个椭圆的半长轴是 a ，半短轴是 b ，半焦距是 c ，以 O 作为圆心，用 R （ R 等同于椭圆的长轴）作为半径的圆是行星旋转 90°的速度矢量图， D 是速度矢量的起点， P 是椭圆轨道上任意一点，连接 OP 并延长之后与圆相交于 U。
令 q = DU，r = OP，R = 2a (51)
由式(42)(47)可得
这是一个等腰三角形，存在一个P点，P点的速度垂直于DU并将其平分，假设设置一个夹角θ。设这个夹角θ是P点的速度与PU之间所形成的夹角。
由上述几何知识得
(52)
对三角形
由余弦定律得
(2c)的平方等于(2a)的平方加上q的平方，减去2乘以2a乘以q乘以cos∠OUD ，(53)。
sinθ = cos∠OUD (54)
由(52)(53)(54)
由(27)(42)两式得
(57)
由(51)整理(57)得
(58)
由式(50)得
(59)
由(58)(59)两式得
(60)
开普勒第三定律得证
5 结语
《自然哲学的数学原理》由牛顿所著，此书开创了经典物理，然而当下学生学习牛顿原著时，发觉对几何知识要求颇高，而此在现今学校教学里被普遍忽略。这篇文章借助开普勒问题的几何方法推导，梳理了开普勒、牛顿、哈密顿等人的贡献，用以熏陶学生的科学思维。在从开普勒定律推导万有引力定律之际，仅运用了哈密顿第一定理以及高中学生均已掌握的几何知识，学生易于理解，能够在后续高中教材中作为阅读材料予以补充，从而开阔学生眼界。