关于功和能的关系, 这其实是高中物理里面那种既简单又非常深刻的等式所指代的内容。简单来说就是能源不会无缘无故地就消失了, 它们仅仅是更换了一种存在的形式, 然后继续在账本上面去记录一笔内容而已。
很多同学在刚开始学习功和功率的时候, 心里会想, 这难道不就是力乘以距离、功除以时间吗, 感觉挺简单的。但是等他们真正开始做题的时候, 特别是碰到机车启动、传送带以及斜面组合这种综合性的题目, 分数就会哗哗地往下掉, 这时候他们才意识到这一章的内容水深得很。
问题到底出在哪里呢? 问题其实出在大家只是把公式给背住了, 却没有把“功是能量转化的量度”这句话真正咀嚼透彻。
功这个概念的核心定义呢, 就是力去乘以物体在这个力的方向上头所发生的位移情况, 这里面的关键点, 在于那个“在力的方向上”这一部分。如果一个力和位移是垂直的, 那么这个力根本就不做功。
拿匀速圆周运动举个例子, 向心力始终是朝向圆心方向的, 它和速度的方向是互相垂直的, 所以说向心力永远都不会做功。只要你在刚开始的时候, 就能把这一点给彻底明白, 那么后续遇到的一大堆题目, 都能迅速做出判断。
正功和负功这两个概念, 大家也经常会搞混。当力做正功的时候, 其实是在给那个物体输送能量；而当力做负功的时候, 意味着物体正在克服这个力的作用, 这个过程是消耗能量的。
拿向上抛出的物体来说吧, 在上升的过程中, 重力做的是负功, 这时候动能会转化成重力势能；等到它往下掉的时候, 重力就在做正功, 势能又重新变回了动能。
如果你想知道一个力做的究竟是正功还是负功, 去看那个力和位移之间的夹角, 看它是锐角还是钝角, 这比死记硬背那种“上升是负的、下降是正的”口诀, 要靠谱多了。
功率指的是做功快慢的程度, 它的定义式是P等于W除以t, 这个表达是用来计算平均功率的, 要是大家想要去弄清楚在一某个特定瞬间的那种快慢情况的话, 那么就得使用P等于F乘v这样一个公式了, 其中这个字母v代表的含义是瞬时速度, 至于那个力它也必须要求是发生在同一瞬间的那个力, 这一条重要的规律在机车启动问题的解决过程当中可以说是有着至关重要的位置。
在讲到机车启动这个事的时候, 你得知道, 这绝对是跟功率这一章里的那个最难的点是一样的, 同时也经常能够在高考里看到它的身影的, 所以说它有两个类型的那种模型, 一个是恒定功率启动这样的东西, 在最开始的时候那个牵引力是比较大的, 加速度也是非常大的, 但是随着速度增加之后呢, 牵引力就要按照那个等于P等于FV这样那样的公式来被迫减小了, 然后加速度也跟着一起减小了, 一直到那个牵引力最后等于阻力为止, 这时候速度才会达到最大的一个状态, 之后就变成匀速运动了, 总之这个过程里的加速度是越来越小的那种变加速的运动状态的。
另外一种启动办法叫做恒定加速度启动。在这个过程中, 一开始要保持着牵引力的大小不变。这样一来就会做匀加速的运动。与此同时功率会逐渐地变大。
直到功率增加到了额定功率为止。紧接着就进入了保持功率不变的阶段。在这个阶段加速度会越来越小。最后车辆就达到了匀速运动的状态。
这两类模型之间存在的本质性差异, 是清楚地体现在哪一样要素会更早地达到那个上限状态。在恒功率这种运行模式下, 主要是功率这个物理量先一步到达了它那个固定的最大值。
在恒加速度这种运行模式下, 实际的情况是因为功率很快就会提升到它的额定数值, 所以这时候加速度就会发生改变, 而导致的结果就是速度这个要素先到达了某个限定值。如果题目的设问方向是让求最大速度这种情况, 那么可以直接把公式 vmax = P额 / f 套用在恒功率这个阶段里。
但是如果问题是要求匀加速这个过程能够维持多长的时间, 那就需要使用 v = at 和 P = Fv 这两个公式联合着去进行计算。只要同学们把这两种解题的思维套路刻录进自己的长期记忆里面, 变成一种不需要过多思考就能自然做出来的肌肉记忆力, 那么面对机车类的运动学题目时就不会再感到恐惧了。
动能定理可以说是这一章里最耀眼的部分, 它的意思就是合外力对物体所做的功, 是等于物体的动能的变化量的, 如果把它写成公式的形式的话, 那就应该是总的功W合啊是等于后面的二分之一m乘以v末的平方再减去前面的二分之一的m乘以v初的平方的, 这个动能定理最大的好处呢, 就是它帮你绕开了那些特别复杂的中间过程细节, 至于说在这个过程中物体到底是不是在做匀加速运动还是变加速运动, 或者到底是直线运动还是曲线运动这些情况都不重要了, 因为只要你能够知道物体开始时候的动能和结束时候的动能, 然后把整个过程里面每一个力做的功都算出来, 那就可以很轻松地列出方程了, 这种方法比起用那个牛顿第二定律去一步步推演计算来说确实是省事太多的了。
举一个例子, 一个小球从光滑斜面顶端滑下, 又冲上另一个粗糙斜面。如果你用牛顿定律, 你就要分段计算加速度, 还要计算时间, 这麻烦得要命。如果用动能定理, 你在全程只写一条式子, 即重力做功加上摩擦力做功, 等于末动能减去初动能, 这样就能一次搞定。这就是动能定理的威力, 它把过程压缩成了状态差。
到底在什么情况下应该优先考虑使用动能定理来解决物理问题? 答案很清楚, 如果题目中直接给出的是初始和最终两个状态的具体数据, 以及整个行程中物体的受力情况, 而不是非要你去拆解每一小段运动的细微过程, 那你就干脆利落地启用动能定理吧。
因为它可以直接处理那些带有曲线轨迹的环节, 或者力的大小一直在变化的复杂做功情形, 把这些连基础牛顿定律都难以啃下来的难题, 硬生生地转化成一道只要计算数字的简单代数习题。
有一个容易出错的地方, 必须要明确指出来, 动能定理里面提到的W代表的是所有外力的合力做功情况, 这种情况同样可以表述为把物体受到的每一个单独的力所做的功加在一起, 也就是代数求和的方式来进行计算。
有一些学生在做题的时候, 没有仔细思考, 只是把某一个单独的力做的功就给算出来了, 然后就匆忙地列出了方程来解题, 这种操作方式会导致他们疏忽了重力或者摩擦力等其他力的存在和它们对能量的影响, 从而造成计算结果的巨大偏差, 真的是小小的疏忽会引起极大的错误后果。
所以在正式写下计算公式之前, 最好是在脑海里先梳理并列出物体此刻正在承受的所有力量是什么状态, 然后针对每个力仔细想一想它究竟有没有参与做功的过程、如果参与了是做正的功还是做负的功, 把这些信息全部理清之后进行汇总求取。
还有一个细节需要注意, 在运用动能定理的时候, 位移与速度这两个物理量必须是相对于同一个参考系来测量的, 这个参考系通常选用的就是地面, 倘若题目中给出的数据是相对速度, 那么就需要先把这个相对速度的数值换算成立相对于地面的速度之后才去进行后续的计算, 像传送带相关的练习题里面这种容易掉进去的陷阱出现得特别频繁, 因为传送带本身是在运动的, 所以物体对于传送带的速度和物体对地面的速度根本就不是一回事。
功和能之间的那种关系, 其实算是整个力学领域, 甚至包括整个物理学范围里面的一个非常基础且核心的逻辑部分。大家常听说的机械能守恒现象, 本质上其实就是动能定理在一个特定情况下的特殊版本, 而这个特定情况就是仅存在重力或者弹力在执行做功这一动作。
因此, 只要你真正弄明白了动能定理的具体含义, 当你再次回过头去审视机械能守恒定律时, 你就会产生一种觉得极其顺其自然的感觉。
简单来说, 这种直觉来源于这样一个事实: 在合力做功的计算式里, 唯独只剩下了重力和弹力在进行做功操作, 而其他一切外力都不再参与做功过程, 进而导致物体的动能变化量最终只能通过与势能的变化量进行相互抵消来实现平衡状态。
那个用了假名字的学生叫做宇辰, 他在高一的期末考试中, 物理科目只考了六十来分, 主要的困难点卡在功和能量这一部分知识上。他跟我说了情况, 每次在看到“物体在粗糙的水平面上滑动了一段距离, 然后又冲上了斜面”这样的题目时, 他的脑子就会一片空白, 完全没有思路。
我让他换一个思考的角度: 不要先去想物体到底是怎么运动的高中物理功和功率高中物理功和功率，先把注意力集中在开始状态和结束状态的动能上面, 然后把在整个过程中都有哪些力做了功, 一个一个地列出来。第一次的时候, 他还是习惯性地想要去画受力分析图, 还要分段进行计算。我拦住了他的这个做法, 强迫他用动能定理来写出一条算式解题。
他写完了以后, 有一瞬间愣住了, 随后他说了句话, 就是感叹道原本只用一个步骤就能够得出那个结论的。后来呢, 他专门去练习了有十道比较综合的题目, 而且每一道题的做题思路都是从动能定理这个地方开始切入进去的, 这样一来正确率就从百分之三十左右的水平提升到了百分之八十的水平。
宇辰所说的转折部分表明了, 在功和功率这一章里, 真正的难点并不是公式的数量非常多, 关键在于学习者是否有勇气跳过那些看起来很花哨的运动过程分析, 去直接抓住关于能量的账目计算。
只要能够养成先查看状态的变化差值、然后再去进行能量相关运算这样的习惯, 那么许多表面上看起来非常复杂的题目就会瞬间变得简单, 从而成为简单的计算题而已。
另外再补充一个叫做摩擦力做功的考点, 静摩擦力可以做正功, 也可以做负功, 当然它也可以不做功这个关键在于受力物体有没有向着静摩擦力的方向出现位移情况, 举一个走路的例子来说, 地面给脚的静摩擦力方向朝前头, 同时脚相对于地面的位置并没有发生改变, 但是整个身体确实在向前移动, 那么这种情况下这个静摩擦力对于人就会做出正功的动作, 再比如传送带刚刚把物体放上去的那个阶段时期里, 传送带对着物体的滑动摩擦力就会做出正功行为, 这样做的目的呢是为了对物体进行加速处理。
在课本里面, 这些情形讲得是比较少的, 但是在考试当中却特别爱考, 只要理解了关于力看力和受力物的位移这些概念之后, 就不会感到乱了。
最后给大家一句确实能够直接拿去用的建议就是: 每当遇到物理题的时候, 要让动能定理成为你大脑里的第一个条件反射, 千万别把它当作最后才想起来才去使用的备用方案。在很多复杂的力学计算题目里面, 运用动能定理来解题通常都会比直接使用牛顿定律来得更加迅速一些。
除非这个题目的具体问法里明确地要求你需要去求解出物体的加速度大小, 或者是需要针对某一段特定的时间去进行分析, 这种情况下才退回去使用牛顿第二定律来解决问题。只要你选对了解决问题所使用的工具和方法, 那么这道题的难度实际上就会降低到原来的一半左右。
传送带问题是功和能这块内容里最让人头疼的综合场景, 但是, 这个情况恰恰是把那所谓动能定理比牛顿定律好用的事儿演示得最清楚的一个例子。你可以这么想, 当物体刚刚被放到那个正在运动的传送带上的时候, 它会相对于传送带向后去滑, 然后就受到了一个向前的滑动摩擦力, 这个摩擦力就把物体给加速了。
然后这个加速的过程会一直持续下去, 直到物体的速度和传送带的速度变得一样了为止, 从这一点开始, 它们就一起匀着走了, 到了那个时候那个摩擦力它就消失了。
如果你在分析这个整个过程的时候选择把段落分开应用牛顿第二定律的话, 那么你就需要先去计算加速度、接着还要去计算加速的时间, 然后再去计算位移, 这样子的操作步骤是非常多的, 而且非常容易让人的思维变得混乱；但是如果你换作是使用动能定理的话, 那么你只需要写出一个等式就可以了, 也就是摩擦力所带来的功等于物体的动能所产生变化量, 这里的计算公式是摩擦力乘以相对于地面的位移, 其结果等于二分之一乘以质量乘以末速度的平方再减去初速度的平方在这其中最让人感到头疼的就是不知道该选用哪一个位移数据了, 你要牢记的一个原则就是统一都使用物体相对于地面的位移, 绝对不是去使用相对传送带的位移。
只要这点不弄错物业经理人，传送带题就再也吓不到你。
对于机车启动这个情况, 其相关的图像信息其实也是非常具有提及价值的。当我们考虑到恒定功率启动这种模式的时候, 在速度与时间的关系图像上, 它所展示出来的形态是一条曲线。
这条曲线的特点就是斜率会随着过程的推进而逐渐地变小, 并且最终会趋向于一条水平线的状态, 之所以会出现这种现象, 是因为在这个过程中加速度是在不断减小的。再来说说恒定加速度启动的情况, 在这样的情况下绘制出的图像, 它会首先表现为一段直线的形状, 这代表的就是匀加速运动阶段。
然后, 当功率达到了额定数值之后, 该图像的形态就会发生变化, 出现拐弯并转为曲线形状。在许多考试题目中经常会考查学生如何能够根据给定的图像来判断出具体是属于哪一种启动方式的, 这时候同学们只需要去观察一下该图像的初始阶段或者是开头的那一段轨迹是不是呈现出直线形态, 就完全可以搞清楚答案了。
然后再配合一下那个vmax等于P额去除以f的这个公式, 在图像上面那个最高点所对应的情况就是最大速度。只要你把图像上和这个公式之间的那个对应关系给找对, 这类题目也就成了送分题了。
这里头还藏着一个通贯了全书的核儿思想, 那就是说那能量这个观念, 比起那个运动的观念来, 得要更本源一些。牛顿定律它回答的是物体是怎么个动法, 而动能定理, 它回答的是能量是怎么个变换法。
等咱们到了那种就只关心最后的结果而不操心中间过程的情形底下, 用能量这个视角去看问题, 往往就能走得更快更直接那么一点。
因此在做题目这类事情上边, 你别一上来就不由自主地开始去画受力示意图, 你得先在自个儿脑子里头问问自己: 这道题它真正要弄明白的那个东西, 到底是个状态上的定量还是个过程里的变量, 这才是正经道理。
如果题目让你去求状态方面的量, 那就应该把动能定理放在首位来考虑, 只有当问题涉及到具体的加速度或者某一段时间的时候, 才需要用到牛顿第二定律, 养成这样一种选择解题方法的习惯, 它的提分效果会比多做的十道题还要好。
接下来, 我们再把功和能这一章里面最容易让人搞混的几组概念拎出来对照一下, 这样就能避免在考试中犯晕了。第一组是平均功率和瞬时功率。前者是把时间跨度拉长了看一段时间里面的情况, 而后者是只盯着某一个具体的时间点来观察。
这里需要特别注意, 在公式P等于Fv当中, 只有当v代表的是瞬时速度的时候, 算出来的才是瞬时功率, 要是用位移去除以时间的话, 那就算出的是平均值了。第二点则是关于正负功是怎么判断的问题。永远要去看力和位移这两个方向之间的夹角是多少, 千万别凭借“上升下降”这种字面上的意思死记硬背。
另外, 垂直方向不做功这一条规则, 尤其要高度重视, 一定要牢牢记在心里头。
另外要说一点, 就是那个动能定理和机械能守恒它们各自适用的范围是啥样子的, 动能定理这个东西普遍适用就行, 只要那里头有做功这件事发生, 那么它的动能就一定会发生改变；而机械能守恒这个规律就不一样, 它只有在“仅仅只是重力和弹力在那儿做工”的这个条件下才跑得通, 哪怕稍微有点摩擦力让热量冒出来, 那它就不守恒了, 到那时候你就得去用动能定理来解决, 可别傻乎乎地去硬套那些守恒的公式。
这类实验题也常常会考到关于验证动能定理的这个内容。课本上用的方式是用打点计时器来测得速度, 是用天平来测得质量, 是用纸带上的数据来算出位移, 通过比较合力所做的功和物体的动能变化量是否相等来判断是否成立。这里存在一个需要注意的细节: 小车的合力并不等于绳子的拉力那么简单。
如果实验中并没有平衡摩擦力, 那么合力需要减去因为摩擦力而做的功。如果在实验之前已经进行了平衡摩擦力的操作, 那么绳子的拉力就可以近似地等于沙桶的重力, 这里的实际条件是要要求沙桶的质量远远小于小车的质量。
这些前提条件, 题目常常会设置成空缺的样子让你去填写, 如果你对于它的原理解释不是十分清晰明确的话就肯定会填错。
因此在做实验这一件事情上的时候, 我们绝对不能够只是简单地背诵和记忆操作步骤, 而是必须要搞清楚并且懂得其中的道理去理解每一个具体步骤它到底是在控制着什么变量, 同时又在把哪些情况当作某种近似处理来看待。
建议把这章里面那些容易出错的知识点, 单独整理出一页纸, 起一个名字叫“坑位清单”, 在考试结束前拿出来翻看一遍, 这样做比重新去做十道新题更能有效地防止失去分数。很多得分的机会并不是因为自己不懂才会丢掉的, 而是因为在一某些已经出错过的旧问题上再次犯同样的错误。
把功和能的这个视角带到生活里面去, 然后你也就能够发现到它其实是无处不在的, 上楼梯的时候感觉到费劲, 其实是因为要克服重力去做功, 骑自行车的时候顺风会省力、逆风会费劲, 这是因为风力在做正功或者是做负功, 刹车靠的是摩擦力在做负功, 把动能全都给消耗掉了, 这些日常的现象用能量账本去解释一下就全部都通透了, 久而久之之后呢你看这个世界会多了一层能量在流动的眼光, 这要比多做几道题更加有后劲。
请执行以下行动指令, 在今晚选择两道关于力学知识的综合题目, 要求你强行让自己先运用动能定理列出相关等式并完成计算得出结果, 之后再去运用牛顿运动定律对同样的问题进行检验和确认, 通过比较处理这两道题目所耗费的时间长短, 你可以清楚地知晓哪一种解题思路从效率角度来看更为合理且具有优势, 应当将精力首先集中于熟练掌握能量守恒方面的基本核算方法之上, 至于具体解题过程中的细节描绘方面则可暂且置于次要位置。