有一个带电球壳, 这个球壳的内部区域是没有安排任何电荷的, 在这种状况下考察由布置在球壳上面的电荷所引发的电势分布结果会发现, 无论是处于这个球壳内部的空间位置还是处于球壳外部周围的空间范围里, 该电势都属于调和函数的类型性质，其根本原因在于除开集中在球壳表面之上那部分电荷以外, 周围环境当中并没有出现其他类型的电荷实体。
倘若把这个带电球壳的中心点位安排存在某个特定的电荷个体, 于是我们再去观察位于球壳范围以内的任意一个空间截面时候需要注意到, 只要这个截面范围囊括了中心的电荷点, 那么这部分被涵盖区域内的整体电势数值将不再是单一成因的结果, 而是转变为一种由两部分组件构成的混合状态；具体来说, 其中一部分源自那个独立安放在球心坐标处的基础电荷本身独立激发的位势分量值, 而另一部分则来源于原本就存在的带电球壳结构自身对外所产生的具有调和函数属性的位势分量值。
而在那个球壳内部, 对于那些不包含球心的、面积比较小的空间区域来说, 所产生的调和位势依然仅仅是由球心和球壳各自独立作用所形成的。
至于在球壳的外部空间中, 其所呈现的也依然是只有调和位势而已。
我们下面就来按照一条条的方式来分别解释一下, 把区域这个概念、奇点所在的位置情况, 还有调和函数的定义都逐个讲清楚, 并且再把它们和泊松方程之间互相联系或者互相区别的地方结合着说清楚。
第一个点是, 在这个球壳的内侧部分没有任何的电荷存在, 只有说这个球壳本体上面是带有电荷的。
最终的结论是, 球壳上的电荷所激发的电势, 在球体内部的那个开放区域当中, 以及在球体外部的那个开放区域里面, 它都属于调和函数这类情况, 只不过这个规律仅仅在带有电荷的那个曲面, 也就是球壳本身的位置这里, 是不符合拉普拉斯方程的要求的。
第二种情况是, 球壳带有电荷, 同时球心位置处还存在一个点电荷δ0。
意思就是, 只要我们在挑选那一小块小区域的时候能够把所有的电荷都躲开, 这里面具体说的既不包括球心那个位置的点电荷, 也不去触碰那个球面本身, 那么在这块选定的区域里面, 总的电势就一定是调和的。
也就是说, 除了球体内部以外的那个广大区域, 整体的电势是可以达到一个平衡并且和谐的状态的。
总结
调和函数的定义在通常情况下, 它必须总是去建立于那些开集的基础之上。所以我们绝对无法去谈论在一个曲面之上, 抑或是孤立点上它们是否处于调和的状态。
这个意思并不是说总和具备调和性质, 也就是说位势拆成几个部分的和, 并不等于这些部分加起来的总和就是调和的。只要其中有一项在这个区域里面出现了奇点, 那么整体的结果就不会是调和的那个状态。
点电荷它只在原点那里制造了一个奇点, 只要这个区域避开了原点的话, 这个点电荷的牛顿位势呢, 它就在那一这片区域里头变成了那个普通的调和函数。
电荷仅仅存在于二维的球面之上, 而在那个球壳的内部开区域以及外部开区域之中, 均不存在任何电荷, 所以呢, 由这个球壳所产生的电势, 在其内部和外部的那些开集合里面始终保持在调和的状态, 完全不会受到处于球心位置的那个电荷的影响。
我们试着从Riesz分解这个角度来进行仔细观察。
这种情况和那种被大家叫做Riesz分解标准形式的规矩匹配的是非常完美的, 也就是说呢, 上调和函数这个东西是可以等于一个调和函数去再加上一个由那个测度所产生的牛顿位势的。
下面提供一个, 用于表示几何图形特征的, 示意性图案。
不同区域：
结合扫除原理解释
假设在模型内部的情况下, 那个球面电荷被当成是真实给定的那种电荷来看待。
在扫除原理里面, 那个球面上的电荷其实是一个虚拟的感应电荷。它的主要作用是抵消掉内部奇点产生的电势。
1）我们在这里, 先做出一个假设。
2） 将模型进行删除, 这一操作被称为扫除模型。
总结
只有那些点电荷所在的具体的几何位置, 才会由它们自己单独去造成奇点, 假如说在某一小块打开的区域里面, 根本就没有包含任何种类的电荷, 不管是点状的那一种啊还是面状的那一种又或者是体状的那种东西的话, 那么这个区域里面的总的电势值肯定就是一个符合调和条件的数理函数, 换句话说电荷这种东西仅仅只会在它自己所占据的那个特定的支撑集合上面把拉普拉斯这个方程给破坏掉。
在接下来这个环节中, 我们将向读者呈现一组具有具体数值的例子。
球面电荷单独产生的电势
从多个观测点里面, 先挑出三个出来, 然后对这三个点分别进行计算操作。
总结
