01单摆的设计与定义
你要做的第1件事, 是去准备那个重物。这个重物必须是轻的或者说是重量的意思, 比方说弄个金属球之类的。然后再去找到一根线。这根系什么样的绳子的? 细绳可以。棉线也可以的。把那个球跟这根绳子它俩接在一起了。一定要确保那根线的另一端被固定得很紧、很牢固的那种感觉。
做到这样的一步的话, 你就已经成功地把那个单摆给制作出来了。这么一种装置, 它看着是简单的。它在物理学当中是有着非常重要的作用的一个地位在其中。另外的一种身份就是它是帮助你打开那扇门用的, 这把门通往的是单摆运动背后的那些秘密。它是了解这些秘密的关键一个工具所在其中。
自从伽利略把单摆摆动时具有等时性这个情况揭示出来之后, 单摆在物理学的根基研究方面以及教育这一领域里面, 就起到了非常关键的作用, 可以说扮演着极其重要的角色。
大家可以看到从惠更斯搞出第一个摆钟到现在, 在各种物理教科书里那些非常精美的插图之中, 单摆一直都在用自身特有的那种吸引力, 吸引着很多很喜欢物理的人。
咱们是为了更深一点去摸索物理学里面的奥秘, 同时也为了给以后走的学习道路去打好一个特别牢固的基础, 所以在接下来的时候, 我们将一起去弄清楚单摆它是按照什么原理在运动的, 以及它内部存在着什么样的规律。
在深入探讨单摆的运动原理之前, 我们首先要明确如何“定义”单摆。单摆通常由一根边长固定、质量极小的线构成。线的另一端绑着一个小球。这个球的质量也趋近于零。这样的设定, 使得我们可以更专注于单摆的摆动特性。同时忽略其他可能干扰的因素。
为了能够预测单摆的运动情况, 首要任务是构建一个合适的坐标系, 以便描述它的位置。此处, 我们选择极坐标系, 而非常用的笛卡尔坐标系。极坐标系的定义方式是根据点与原点之间的距离, 以及该点和原点连线之间的夹角来确定的。
这种设定特别适用于分析单摆, 因为它简化了我们对摆动特性的理解工作。在极坐标系当中, 我们完全无需考虑小球与原点的实际距离。原因是因为, 这个距离始终都会保持不变。
02单摆的运动分析
接下来, 咱们得去了解怎么去测量角度, 我们在这里选择用弧度来当作单位, 原因是它和直径为一的圈子的弧长有紧密联系, 要注意到一百八十度其实就是π个弧度, 最后总结一下, 咱们的目的就是要去把单摆角度跟着时间变化的那个方程给解出来, 为了达到这个目的呢, 我们要用上合适的数学方法和一些技巧, 从而把这方程给推导出来并且把它求出来。
在接下来的那些讨论里头, 为了把写这个字的时候弄得更简单一些, 我们打算用那个θ来代替那个角度, 这样就能借用它去指代那个单摆正在晃悠的一个状态了, 然后, 我们就得在这个牛顿力学的大框架下面去琢磨一下这个小单摆是怎么运动的, 至于说到我们通常怎么去做这件事儿, 我们一般是要按着那三个很基础的样子来的, 第一就是先去找清楚我们到底要看的东西是哪一个, 第二就是要搞清楚这个东西受到了哪些外面传来的力贝语网校，最后一步, 就是用一下那个叫牛顿的第二定律。
▍ 受力分析与合力计算
咱们先得画出单摆在受到力时候的图。在单摆这个系统里面, 主要的受力情况是两个力起作用。一个是重力, 另一个是绳子的拉力。咱们来分析一下重力和拉力的情形, 应用几何知识和三角函数去算一算, 就能求出重力在切线方向上的分力。结果是等于Gsinθ。
因为受到了细绳的限制, 所以单摆的运动就被约束住在一个以固定点作为圆心、半径也是确定的这样的圆周上了。因此, 我们现在主要是需要考虑那个跟圆周相切的力。鉴于拉力在方向上始终与细绳保持共线, 并且同时垂直于圆周运动的路径, 因此在分析过程中, 我们直接忽视拉力所带来的影响。
真正需要我们去着重关注的, 是重力之中存在于与圆周相切的方向上的那一个分力。
为了得到这个分力, 我们必须动用几何方面的办法。特别是, 因为重力所指向的方向, 是和竖着的轴线平行的, 所以, 我们要去计算拉力, 还有重力朝上面延伸出去的那些线夹角的度数, 只有这样, 才能够知道重力这个分力它有多大。
圆在任意一个点上的那条切线, 和穿过那个点的那条法线是互相平行的。拉力这个方向总是跟单摆做圆周运动时的那个圆周切线是垂直的。把上面这两件事放在一起看, 重力在圆周相切那个方向上产生的分力, 就是它自己还有那个拉力加起来的合力了。
那些学习过三角函数的人物, 在当前阶段应当能够明确地看出, 我们所需要的重力在垂直方向上的分力的表达形式确切来讲为F_y = Gsinθ, 在这个公式里面, θ代表的意义是摆线与水平线之间的夹角。
▍ 运动方程与解法
接下来, 由于圆上任意一点的切线与经过该点的法线相互平行, 而拉力方向始终垂直于单摆运动的圆周切线, 因此重力在圆周相切方向上的分力, 实际上就是它与拉力的合力。
我们的目标主要是简化方程, 并且尽可能减少变量的数量, 为了实现这一点, 我们可以将原本比较复杂的方程式子转换成更加简练的表达形式, 另外还注意到参数θ本身是一个固定的常数, 所以它对其他变量求导数的结果都应该是零, 在这种情况下我们就可以把这个θ直接当作常数来处理并进行替换操作, 经过这一系列的化简步骤之后我们最终得到的结果如下所示。
这个方程是被叫做单摆的运动方程的样子, 而借助着它, 咱们这边就能够再继续去推导出关于那个单摆所走出来的运动轨迹。
最后一步是求解。在小角度的时候, 我们可以用近似的方法来把问题变简单一点。然后, 我们去建立单摆的运动方程。这样求出来的结果就是, 单摆的运动轨迹是正弦波形, 而且还能确定它的周期。
在角度比较小的时候, θ就可以被近似为那个值（如果你熟悉泰勒级数的话, 你就会知道, 这其实是泰勒级数里面的第一项）。基于这个近似想法, 我们原来的等号两边就会简化成下面的式子:
把这个方程进行两次微分之后, 会拿到自己乘以一个负数的结果高中物理单摆高中物理单摆，这显然是非常清楚的三角函数方程。这种方程的通解如下所示:
A、B以及C都是常数, A是和单摆的释放位置相关的, B是与在释放时候的角速度有关的, 而C则是和单摆的周期紧密相关的。
虽然单摆在表面上看起来非常简单, 不过它里面却包含着非常丰富且深刻的物理以及数学方面的各种知识。在本篇文章当中我们就涉及到了好几个不同领域的专业内容, 其中就包括了受力分析、简谐运动、广义坐标、微积分, 还有微分方程等等这么多重要的知识方面。
此外的话, 大家如果在进行后续研究的时候还打算运用分析力学这个专业工具来对单摆的运动情况进行更进一步的深入分析和探讨, 那么在这种情况下我们还必然会去涉及到更多更加高级、更为复杂的理论概念, 例如说拉格朗日量或者是欧拉-拉格朗日方程等都是属于这一范畴内非常典型的专业学术术语与相关公式。
从物理学的那个方面来看, 每一个物体的里面, 都藏着说也说不完的秘密。正是因为有一批人, 他们能够从平常的日子里头, 把那些物理的规矩给找出来, 再把它总结好, 所以我们现在才拥有了这么多珍贵的科学财富。我们希望大家都能够学着他们的样去干这件事, 也就是要好好的去发觉并且珍惜就在我们身边的科学知识。