涉及蒙特卡罗(Monte Carlo) 方法的简介，蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，它也被称作计算机随机模拟方法，是一种依靠随机数的计算方法。关于其起源，该方法源自美国在第二次世界大战进行研制原子弹的曼哈顿计划。Monte Carlo 方法有着以下四位创始人： Ulam, Fermi, John von （学计算机的肯定都认识这个厉害的人吧）和。关于Ulam，他身为波兰裔且拥有美籍，是一名数学家，早年的时候，其研究领域是拓扑，后来呢，因为参与了曼哈顿工程，所以兴趣就转向了应用数学，他最先提出使用Monte Carlo方法去解决计算数学当中的一些问题，而后又将这个方法应用到解决链式反应的理论里面去，称得上是MC方法的奠基人；至于Fermi，他可是个物理方面的厉害人物，在理论以及实验这两方面都是很厉害的，这在物理界是很少见的，在那篇名为“物理大牛的八卦”的文章当中提到这个人很多回，对于如此厉害的人却只能是英年早逝了（可别讲我话说得不好听呀，上帝都嫉妒呢）可以这么说一流范文网，John von堪称计算机领域的牛顿，厉害至极，然而结局如同Fermi一样，遭到了上帝的忌妒；他是希腊裔美籍人士，身为数学家、物理学家以及计算机科学家，此人针对Monte Carlo方法所做出的贡献极为重大，确切来讲，正是因为他所提出的某一种算法（名字记不得了），才致使Monte Carlo方法得以拥有如此广泛的运用，这人如今依旧在世，跟前几位杰出的人物有所不同，他非常专注，其一生最为主要的贡献便是Monte Carlo方法。来源于摩纳哥有个城市名叫蒙地卡罗的蒙特卡罗方法，那个以赌博业闻名的城市，而蒙特 罗方法恰恰是以概率为基础的方法，与之对应的是确定性算法，解决问题的基本思路，Monte Carlo 方法在很早以前其基本思想就被人们所发现并利用，早在 17 世纪，人们就晓得用事件发生的频率去决定事件的概率，19 世纪人们运用投针试验的方法来确定圆周率π。将时间跨度定为本世纪 40 年代时电子计算机问世了，尤其在近些年高速电子计算机出现了，这便致使运用数学方法于计算机上大量且呈快速程度模拟这般的试验变成了可行之事。为了把 Monte Carlo 方法的基本思想予以说明，让我们先行看一个简单示例，从此示例范围里你能够感受怎样运用 Monte Carlo 方法去考虑问题。例 1 是，比如 y 等于 x 的平方，针对 x 从 0 积分至 1。结果呈现为下图红色部分的那片区域面积，留意到函数于(1,1)这个点的取值是1，因而整个红色区域处于一个面积为1的正方形范围之内，所以所需求解区域的面积就是在该正方形区域里任意选取点，点落在所需求区域的概率，这个限定条件是yx^2，运用模拟物理学家蒙特卡罗，进行一百万次（也就是总共取个点），得出的结果是0.3328，归纳Monte Carlo方法的基本理念，也就是所求解的问题是某个随机事件A出现的概率（或者是某个随机变量B的期望值）。经由某种“实验”方式，得出A事件出现的频率，借此估计出A事件出现的概率，或者获取随机变量B的某些数字特征，得出B的期望值。在解决实际问题之际应用蒙特卡罗方法，工作过程主要有两部分：运用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，要生成各种概率分布的随机变量；用统计方法将模型的数字特征估计出来，进而得到实际问题的数值解。蒙特卡罗解题有三个主要步骤，其一为构造或描述概率过程，对于本身带有随机性质的问题，像粒子输运问题这类，关键在于正确地对这个概率过程予以描述和模拟，而对于原本并非随机性质的确定性问题，例如计算定积分，那就必须预先构造一个人为的概率过程，它的某些参量恰好是所要求解的问题的解，也就是说要把不具备随机性质的问题转变为具有随机性质的问题。促使从已知概率分布里进行抽样得以达成：在构建了概率模型之后，鉴于各类概率模型均可被视作是经由形形色色的概率分布所组成的，所以生成已知概率分布的随机变量（或者随机向量），便成为达成蒙特卡罗方法模拟实验的基础方式，这同样是蒙特卡罗方法被称作随机抽样的缘由。最为简单、最是基本、最为重要的其中一个概率分布是处于(0,1)之上的均匀分布（也被叫做矩形分布）。随机数就是有着这种均匀分布的随机变量。随机数序列是具有这种分布的总体的一个简单子样，它也是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列，产生随机数的问题是从这个分布的抽样问题，在计算机上可用物理方法产生随机数，然而其价格昂贵，不能重复，使用不便，另一种方法是用数学递推公式产生这样的序列，此序列与真正的随机数序列不同，所以被称为伪随机数或伪随机数序列。然而，经由多种统计检验予以表明，它跟真正的随机数，或者随机数序列具备相近的性质，所以能够把它当作真正的随机数来加以使用。由已知分布进行随机抽样存在种种方法，跟从(0,1)上均匀分布抽样不一样，这些方法一概都是借助于随机序列来达成的，也即是说，都是以生成随机数作为前提条件的。由此能够看出，随机数是我们达成蒙特卡罗模拟的基本工具。构造概率模型，从中抽样从而实现模拟实验，之后确定一个随机变量作为所要求问题的解，我们把它叫做无偏估计，建立各种估计量，这等同于对模拟实验的结果予以考察和登记，进而从中获取问题的解。针对检验产品有关正品率的问题，我们能够用这样的方式来表示，将 1 用来代表正品，把 0 置于表示次品的地位，接着由此对于每个产品给出检验后的产物定义这样子如随机变数 Ti 的情况，进而将其作为正品率估计方面的量：然后，等到 N次开展实验之后，正品具体的个数呈现为：很明显地，正品率 p 所具有的情况是：并不难发现的是，Ti 属性为无偏估计类情况。当然，完全还能够引入其他类别不一样的估计情况，就好像最大似然估计这类样子，还有出现渐进有偏估计等方面情况。可是，在蒙特卡罗进行计算这个范畴里面，使用频率最多的是无偏估计这类情况。首先，构造一个概率空间，它由事件集合 W、集合 W 的子集的 s 体 A、在 A 上建立的某个概率测度 P 组成，其中，所述概率空间具体为 (W,A,P)；接着，在这个概率空间当中，选取一个随机变量 q (w )，这里 w 属于 W，目的是要使得这个随机变量的期望值恰好是所要求的解 Q；最后，用 q(w )的简单子样的算术平均值当作 Q 的近似值。三本方法的特点是物理学家蒙特卡罗，能够直接追踪粒子。其物理思路清晰，易于让人理解。该方法采用随机抽样的方式，较为真切地模拟粒子输运的情形。反映了统计涨落的各项规律。它不受系统多维以及多因素等诸多复杂性的约束。是针对解决复杂系统粒子输运问题而言的良好办法。MC程序的结构清晰又简便。从事研究的人员运用MC方法编写程序，以此解决粒子输运问题。比较容易获取自己想要得到的任意中间结果，应用的灵活性很强。主要弱点在于收敛速度比较慢，又存在误差具有概率性质相关问题 的MC方法，其概率误差呈现正比关系，要是仅仅依靠增大抽样粒子个数N以此来减小误差，那么就需要增加特别大的计算量。另一类有着与Monte Carlo方法相似形式，然而理论基础却不一样的方法，也就是拟蒙特卡罗方法，即Quasi-Monte Carlo方法，在近些年取得了飞快发展。我国数学家华罗庚、王元所提出的华-王方法就是其中的一个例子。这种方法的基本思想是，用确定性的超均匀分布序列，这样的序列在数学上被称为Low，来替代Monte Carlo方法里面的随机数序列。对于某些问题，该方法的实际速度，一般而言可比Monte Carlo方法提高数百倍，并且还能够计算精确度。蒙特卡罗方法，在金融工程学领域，在宏观经济学领域，在计算物理学领域，诸如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算等方面，有着广泛的应用。存在不少关于蒙特卡罗方法的计算程序，也就是有很多四 Monte Carlo 方法的计算程序，像 EGS4、FLUKA、ETRAN、ITS、MCNP、GEANT 等这样的。这些程序绝大多数历经了多年的发展历程，耗费了几百人年的工作量。除了欧洲核子研究中心（CERN）发行的 GEANT 主要用以高能物理探测器响应以及粒子径迹的模拟之外，其他程序均深入到低能领域，并且被广泛应用呀。就电子以及光子输运的模拟来讲，这些程序能够被划分成两个系列，分别是：EGS4、FLUKA、ITS、MCNP 这两个系列存在着区别，具体表现为：对于电子输运过程的模拟，依据不同的理论运用了不一样的算法。EGS4 和 ETRAN 分别是两个系列的基础，其他的程序均采用了它们的核心算法。ETRAN（for）是由美国国家标准局辐射研究中心所开发的，主要用于模拟光子和电子，其能量范围能够从 1KeV 到 1GeV。ITS（那只可称为蒙特卡洛代码中的老虎的程序），是被美国圣地亚哥的国家实验室，在ETRAN的基础之上开展开发工作而形成的数量众多的模拟计算程序系列集合，其中涵盖了TIGER等，它们之间关键的不同之处在于几何模型存在差别，TIGER所深入研究的是具备一维多层特征的问题情形，存在另一个程序所着重研究的是粒子于圆柱形介质里的传输运送问题，还有一个是专门进行处理粒子在三维空间之中输运的通用程序。NCNP（蒙特卡罗与光子代码），是被美国橡树林国家实验室（橡树岭）所开发的，一套用于模拟中子、光子以及电子在物质里输运过程的通用MC计算程序，在其早期版本当中，并不涵盖对电子输运过程的模拟，仅仅模拟中子和光子，较新的版本（比如），则引入了ETRAN，增添了对电子的模拟。FLUKA 是大型 MC 计算程序，它能模拟种类达 30 余种的粒子，诸如中子、电子、光子以及质子等，它将 EGS4 纳入其中，以便完成对光子的相关操作。