原创 郎君轶 物理与工程
摘要
笔者于工作期间发觉，高中生运用数学工具去解决物理问题的能力正逐步下滑，经对实例予以分析，发现高中物理与高中数学的协调性被破坏乃是其出现的关键缘由，这涵盖了物理里对数学应用水平的要求有所下降，物理与数学教学进度、教学内容存在不协调状况，以及教材符号使用并不统一。本文还对解决问题的办法展开了探讨，以此推动高中物理的教学。
关键词 高中物理；高中数学；物理教学；数学应用；协调性
笔者身为一名身处北京的高中物理教师，在历经十多年的教学进程当中，渐渐生出了两个切身体会：其一，高中生普遍觉得物理乃是最难的学科，这般困难一部分是源自物理学科自身的原因高中物理学科思想，另一部分则是在相当程度上由数学应用所引发的。其二，学生们的“数学本领”愈发薄弱，而此“本领”所指的便是运用数学工具去解决物理问题的能力。为何会出现这些现象呢？众人皆知，物理跟数学是两门关联极为紧密的学科，数学给物理供给了精准的描述工具，而物理则给数学提供了实际的应用，然而笔者发觉，高中物理与高中数学之间的联系已然开始有点“割裂”了。
1 高中物理对数学应用水平的要求降低
笔者列举一个最为直接的例子，高考身为一个最为重要的指挥棒，其难度、其侧重点反映出对学生的要求，这也是所有老师都必须认真去研究的，我们先来瞧一瞧2009年北京高考理综卷的物理最后一题，当时还是理化生同一张卷子，也就是理综卷，通常这也是难度最大的一道题。
题1：（1）请看，如图1展示的那样，ABC是一个被固定在竖直平面之内的且情况为光滑的轨道，其中BC这一段是处于水平状态的，AB段与BC段是以平滑的方式进行连接的，质量是m1的小球从具备高位h的地方从处于静止的状态开始沿着轨道作下滑运动，之后与处于静止状态在轨道BC段上的质量为m2的小球产生碰撞，碰撞以后两球各自的运动方向位于同一条水平线上，并且在碰撞这个过程当中不存在机械能损失的情况，那么请去求碰撞之后小球m2的速度大小v2。
（2） 在物理学里，碰撞过程当中的能量传递规律有着广泛的应用，为了探究这一规律，我们采用多球先后依次碰撞的受力模型，碰撞之前与之后的速度在同一条直线上面，并且没有机械能损失，如图2显示，在固定的光滑水平轨道之上，拥有质量分别为m1、m2、m3……mn - 1、mn……的若干个球沿着直线静止且相间排列，给予第1个球初能Ek1，进而引发各球的依次碰撞。限定是其中第 n 个球，经过依次碰撞之后，所获取的动能 Ekn 与 Ek1 的比值，被称为第 1 个球对第 n 个球的动能传递系数 k1n。
a) 求 k1n；
b) 倘若 m1 等于 4 倍的 m0，mk 等于 m0，m0 是确定的、已知的量。那么当求 m2 是什么值的时候，k1n 的值能够达到最大呢？
这道题的标准解答过程如下：
先进行解析，其中的（1），设定碰撞向前的速度是v10，依据机械能守恒定律。
设碰撞之后，m1具备的速度是v1，m2拥有的速度为v2，按照动量守恒定律。
由于碰撞过程中无机械能损失
上两式联立解得
最终得
（2） a）考虑到
根据动能传递系数的定义，对于 1、2 两球得
与之同理可以得出，在球 m2 与球 m3 发生碰撞之后，动能传递系数 k13 理应是。
依次类推，动能传递系数 k1n 应为
解得
b)将 m1=4m0,m3=m0 代入可得
为使 k13 最大，只需使
最大，即
取最小值
可知
，即
时，k13 最大
我们瞧见，跟前一题相比对于学生在数学方面所具备的能力要求相当高，所运用到的数学工具涵盖联立二元二次方程组，并且使用了递推关系，还得涉及函数求极值（通过二次函数配方，或者借助均值不等式）等等，其推导过程极为繁杂。我们接着来瞧一瞧2023年北京高考最后一道题。
题2这里存在这样一些情况，螺旋星系里头存在着数量众多的恒星以及星际物质，它们主要分布在一个半径为R的球体之内，并且这个球体外仅仅有着极为少量的恒星。球体内物质的总质量是M，能够认为是均匀分布的一流范文网，球体内外的所有恒星都是围绕着星系中心去做匀速圆周运动的，恒星到星系中心的距离是r，引力常量是G。
（1） 求，在 r 大于 R 的区域当中，恒星进行匀速圆周运动时的速度大小 v，与 r 之间的关系。
（2） 凭借电荷平均分布的球壳之内试探电荷所受库仑力的合力是零，借助库仑力跟万有引力的表达式的类似性以及相关力学知识高中物理学科思想，去求r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系。
（3） 依实测数据，科学家获此螺旋星系里不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，像图3展示的那样，鉴于在r>R范围内的恒星速度大小近乎保持不变，这位科学家故而做出预言，螺旋星系周围（r>R）存在一种特别物质，把它称作暗物质，暗物质同通常的物质有着引力相互作用，且遵循万有引力定律，去求r=nR内暗物质的质量M′？
【解析】（1） 由万有引力定律和向心力公式有
解得
（2） 在 r ≤ R 内部，星体质量
由万有引力定律和向心力公式有
解得
（3） 对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
对处于 r =nR 处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
解得
能够明显地瞧见，前面那道题的解答仅仅只有寥寥几步，在对于数学工具的运用方面极为简单，不存在任何数学技巧。
实际上，上述所选的那两道高考原题具备一定的代表性。北京高考物理学科针对最后这一道题的命题，是以2013年作为一个分水岭的，在此前后，极为明显地发生了风格方面的变化。在2013年以前，最后那一道题一直都是所谓的复杂的“模型题”，会去假想物理情景，有着多个研究对象，存在多个研究过程，其解答过程数学推导很长，使用的数学工具也很多。自2013年起往后，风格发生转变，主要变为以那些联系实际题以及信息题这类的“创新题”为主，考查的侧重点变成了学生对于模型的建立能力，以及对于基本概念的理解，几乎是没什么数学计算量的，也不运用复杂的数学工具，解题过程能够在三五步骤内结束。虽说模型题在北京高考里仍旧存在，常常处于倒数第二题的那个位置，然而数学计算的复杂度跟2013年之前相比，也已经远远不可相提并论了，所用到的数学工具就连建立方程组都已然十分少见了。
这样的高考具有导向作用，致使北京的高中在平常教学里，针对数学中稍微复杂些、要求稍微高些的题目，既不讲解，也不练习；老师们在平常编制新题时，也不会出那种“旧风格”的题，要是数学要求提高了，动不动就会被询问：“你这道题是考物理还是考数学？”笔者觉得，这是学生们“应用数学工具解决物理问题的能力”下降的一个关键缘由。数学学科能够学得极为出色，然而却无法在物理学科中加以应用。那么这种能力重不重要呢？笔者认为它还是相当重要的。高中物理，有着一项重要任务，那便是为未来各自然学科的学习奠定基础，自然科学越趋向高深，数学能力重要性就越凸显，若这个能力的基础在高中阶段打不好，对于未来的学习而言是极为不利的。
2 高中数学教学与物理教学不协调和不匹配
在这里，笔者想举一个简单例子来说明。
题3：如图4所示，在粗糙的水平面上，存在着一个质量为m的物体，该物体与水平面之间的动摩擦因数是μ ，此物体受到一个大小恒定的力F：只进行力的方向改变，致使物体向右产生加速运动，那么求加速度的最大值是多少，以及在此时力的方向是怎样的呢？
【解析】 水平方向上列牛顿第二定律
整理得
这转变状况成为求取在 θ 取怎样的值的时候，(cosθ + usinθ)达到最大，这也就意味着 a 获取到最大值。
这是一道有关牛顿第二定律的较为基础的题目，原本在高一上学期就应该会碰到，原因在于牛顿第二定律呈现在物理教材（此处所讲的物理教材，是指文献，适用于北京地区，以下相同）必修第一册第四章“运动和力的关系”这一部分。求解极值能够运用两种数学方法：
解法1：把(cosθ+u sinθ)凑成cosθcosφ+sinθsinφ这种形式，运用三角公式cosθcosφ+sin θsinφ=cos(θ－φ)，这就是所谓的辅助角方法。
另一种解法是，先对 (cosθ + u sinθ) 关于 θ 进行求导操作，之后令该导数的值等于 0，这属于典型的那种通过求导来获取极值的方法。
不过令人惋惜的是，当下的学生在高一时倘若碰到这道题目必然是无法解答出来的，缘由在于上面所提及的三角公式现身于数学教材（此处的数学教材系指文献，以下同）必修第三册第八章“向量的数量积与三角恒等变换”里，仅仅依据册数便能够晓得当物理学到这个位置的时候，辅助角方法还远远未曾学到；至于求导的方法，那就更是遥远了，其在数学教材选择性必修第三册，乃是全部高中数学课程的最后一部分。这便体现出了一个很关键并且重要的问题，那就是高中数学教学跟物理教学于教学的安排以及教学的进度方面存在着不协调的状况。这并非仅仅关联到上面提及的那道题目，实际上，这个问题是广泛存在着的。全面观察高中物理主要所运用的数学工具，有着矢量，也就是向量，其中包括矢量的概念、加法、减法、点乘以及叉乘；还有三角函数，平面运用几何学识来解三角形，解析几何，立体几何，不等式，也就是均值不等式，微积分的初步知识，包括求导并且积分，能够毫不夸张地讲，简直每一种数学工具都是由物理老师率先去传授的。列出几个实际情形下的例子，物理教材必修第一册之中，第一章名为“运动的描述”，第二章称作“匀变速直线运动的研究”，该些内容正是高一刚开始学习之时的内容，学生马上就会碰到位移“矢量”的概念，于定义速度以及加速度之际，实际上就需要领会极限、导数的方法，当推导匀变速运动位移与时间的关系之时，实际上就运用了积分的思想，然而前述这些数学知识，首次于数学教材上出现分别是必修第二册（矢量），选择性必修第三册（求导），至于积分，高中数学则根本没有涉及到。要是我们能够更妥善地去安排物理以及数学的教学进度，还有教学内容，进而让二者能够更优地展开配合，这对于学生们去理解物理概念、规律必然是极具好处的，并且还能够减轻学生的负担。
我们再次回转到题3的情况，高三处于全面复习阶段之时学生们已把所有学科的內容尽数学完，如此一来总该能够会做了对？在理想的状况之下是应当运用求导这一方法的，此方法极为简便。很遗憾，绝大部分情形依旧是不行的。缘由在于学生们会长生出一个疑问，对(cosθ + u sinθ)进行求导，其中x到底处于哪里？原来，去翻看数学教材就会发现，这本教材里的所有函数自变量皆是x，所以一旦自变量更换成其他的符号，学生们就会显得很不适应。这便体现出了数学与物理不相协调的第二个方面，即高中数学教材跟高中物理教材在符号的使用方面存在不协调的状况。问题的关键之处涵盖于求导符号的运用方面，当我们在物理教材里运用导数工具之际，比如。
等公式，常常写成这种比例式的模样；数学教材里头有关求导，才开始的时候采用这种形式，紧接着就用“打撇”的形式来表明求导，像是 f′(x) 代表函数 f 针对 x 求导，这种写法事实上很不适宜在物理里运用——物理比例式的写法实际上有着清晰的物理意义，涵盖了两个清晰的物理量，还有一个逐步趋近、求取极限的过程，然而数学“打撇”的写法丢掉了这些物理意义，特别关键的是，“打撇”的写法无法确切指出是对哪个自变量求导（因为数学教材一直就只有 x 这一个自变量），可是物理中多自变量的情形到处都是，比如简谐运动位移跟时间的关系 x=Asin(ωt+φ)，要是“打撇”的话那是对谁求导呢？这便致使出现了混淆，这针对一个已然熟练掌握微积分来讲或许算不上什么，然而对于我们才刚刚接触微积分没多久的学生而言却会形成极大的理解阻碍，这般也就怪不得题3里没有x学生们就不会求导了呀。
3 结语
对于学生“应用数学手段解决物理问题”能力降低的缘由进行了解析，并且将高中数学教学与物理教学间不协调、不匹配的状况予以了揭示。为把这些问题加以解决，笔者提供了下面这些建议：
（1） 于北京进行的高考试卷命题工作里，提升数学推导、计算的复杂程度，并且加大其器具运用所占比重，于高考发挥导向功能，特别是在最后一题的命制方面，能够把“模型题”与“创新题”交替变换地轮流予以采用，并无需局限于某一种题型，“以并不拘泥于单一题型的方式来运用题目”，从而全面考量学生综合的各类物理能力范围。
（2） 调理数学学科以及物理学科的教学布置，调控教学进度，促使二者能够更为妥善地适配，奋力达成“数学授课领先于物理授课之前”这一目标。
（3） 将数学教材与物理教材的符号运用予以统一，在学生们物理学习进程里，把因不同教材符号存在不一致情况所引发，进而造成物理学习方面的困难予以降低。
（4） 于数学教材里，更多地运用物理学当中的例子，如此，便能使学生熟悉数学于物理里是怎样进行应用的。
（5） 能不能把“微积分”知识于高中数学里的深度予以加大，比如说“积分”的概念、方法也能够有所涉及，鉴于高中物理中用到了它，对于往后进入大学的学习而言是有着诸多益处而没有任何坏处的。
总之，就是让物理和数学更好地“融合”！
笔者于“首届‘中学物理教学融合发展’学术研讨会”上,做了主题雷同的报告。报告完毕后,众多老师主动来与笔者交流,对笔者所讲的情况及其解决建议表示认同。有一位来自北京建筑大学的王俊平老师,称她也察觉到大一新生的“数学能力”出现了下滑,且指出不仅高中数学与物理教材,大学物理教材和高中物理教材同样存在不协调之处（她提及了关于热力学第一定律的表述）,期望在下一轮的教材改革里能实现更好的协调。谈到“数学教在物理前”，这一情况，在大学也是存在的，参加同会儿的老师讲过，说美国大学物理系的新生，在大一的时候仅仅学习微积分，而不学物理，由此可见，这个问题可不是笔者毫无根据乱说的。