在中学物理这个课程里面, 大家其实都把那个单摆运动中的周期所对应的那个公式给学习过了。
它的存在表示, 在单摆进行摆动的时候, 哪怕振幅大小是不大一样的, 但是所需要的时长却保持着同一的状态。这种情况的存在, 就是被称之为单摆的等时性的原因所在。
老师当时跟大伙儿说了那么个事儿, 就是单摆的等时性这东西, 它也不是说随便怎么样都行, 它是有条件的。这个条件就是说, 它的摆角不能太大, 非得是要在5°这个范围以内才行呢。
所谓的概念提示所表达的内容是摆角, 它的意义是指单摆的摆线与竖直方向之间所存在的夹角。
对于这种要求是为何会存在的, 我们能够借助于单摆的动力学方程来进行分析探讨。
单摆的摆球, 在切向这个方向上面, 是会收到重力的一个分力的, 因为这个回复力的存在,摆球就会在竖向的中心线高中物理单摆图像, 左右的这两个方向上来回地摆动着。
设定, 将摆绳和竖直那条线之间的夹角设为一个变量, 并且假设, 当摆锤向某一个方向（也就是左边或者右边都可以）发生偏离的时候, 把这个角度叫做正角。因为切线方向的力总是跟这个变量的符号正好相反, 所以单摆在切线方向上的牛顿第二定律方程就是下面这个样子。
故得
请问应当使用什么样的方法, 来对这个方程进行求解答。
这是一个非线性微分方程, 求解起来非常困难, 更加重要的是, 它的解不具备周期性, 这不符合单摆周期运动的实际特点。
当摆角θ很小时, 可以认为sinθ约等于θ, 因此可以将上面的方程化为线性微分方程即。
这种方程, 它本身是很容易的,它的那个解高中物理单摆图像, 是可以表示为这样的形式。
其中代表的是单摆的幅度, 也就是最大的摆动角度, 另外角频率这一部分。
根据三角函数具有的周期性的这种规律, 可以知道振动的周期为。
我们可以看出, 单摆周期之所以会出现那样的公式, 这是由我们进行了近似计算所导致的。具体来说, 我们做出了一种假设, 也就是说, 当单摆的摆角变得很小的时候, 它的正弦值等于角度本身。
但是, 当我们去执行这么个操作的时候, 摆在多大的角度范围里面才算合适的意思被提出来了? 是不是就像高中老师以前在课堂上讲过的那个说法一样的, 这个角度范围是要限制在5度以内的那样的一个情况?
我们可以把那个振幅记作θ₀, 后面如果没有特别说明的话, 都是指的同样意思。接下来就能通过比较θ₀和sinθ₀这两个数值的大小来得出分析结果, 具体的做法是去观察下面这个式子里面的值是怎么随着角度的改变而发生变化的。
δ r 指的是角度和它对应的正弦值之间的相对偏差, 因为大家觉得用角度制看起来更加直观, 所以现在决定把弧度制调整为角度制。
那么, δr的一百倍（也就是相对偏差百分率）随着振幅的角度值发生变化而变化的曲线如下所示。
从图中能够清楚地看到, 当摆角没有超过40度的时候, 摆角和它的正弦值之间的相对偏差, 始终都是不足10%的。
如果按照中学物理所描述的条件, 将角度限制在5度以内, 那么产生的偏差仅仅约为0.12%。这样的精度水平非常高, 令人感到惊叹。
然而, sinθ₀和θ₀彼此之间的相对偏差, 根本就不是由那种近似做法所产生的周期性相对偏差所引发的。
从另一个角度来看, 如果只是单纯地对角度和它的正弦值两者间的相互联系进行剖析, 那么这样做的意义是完全不够的, 远远不能解决问题。
还有非常多问题没有理清。
比如说, 单摆这个摆动的周期跟它的振幅究竟有没有关系? 这问题还得接着问下去, 到底是多大规模的振幅区域里面, 咱们所使用的那个单摆周期的计算公式才算得准、才靠得住?
为了搞清楚这些问题, 我们必须要借助运动方程来进行严密的分析, 否则的话是行不通的。
可以通过运用能量保持不变这一特性, 来推出单摆在进行运动时所遵循的微分方程, 具体的公式如下所示。
时间是从0积分到θ₀, 对应的时间是T/4, 故得。
可以观察到, 当振幅θ₀逐渐去靠近π的时候, 前面提到的那个积分就开始出现了发散的情况, 于是这个时候的T就会趋向于正无穷大, 这背后的原因是因为当球体到达最高位置时, 它处于一个不太稳固的平衡状态里面, 这样的话它有可能会一直停在那个地方不动, 所以周期就变成无限大了。
使用了椭圆积分, 这个积分的级数形式的解答结果就是上面给出的内容, 具体的推演步骤这里就不仔细展开了, 大家可以去参照相关的文献材料来进行了解。
从这一点来看, 单摆的周期和振幅是有关联的, 具体表现为振幅变大的时候, 单摆的周期也会相应变大。
上面这个式子, 其实就是一个无穷级别的那种数列。很明显地可以看到, 如果你保留下来计算的那个幂次数项, 是越多越好的。当然这样, 你所得到的那个单个摆的一个运动周期里面的精确度, 也就变得越高了。
我们可以进行比较, 分别将幂次保留在2次方项、4次方项和6次方项这几个层次上, 然后来看单摆周期相对偏差的变化情况。
将结果保留到小数点后的第二位, 此时的相对偏差值为。
一直保存到第四次项, 此时的相对偏差为。
一直保留到了第六次项, 这时候算出来的相对偏差是。
相对偏差的百分率是随着角度 alpha 的变化而变化的, 具体来说这个角度用的是角度制。在图中我们可以看到蓝色、红色以及绿色这三条不同的曲线, 它们各自的情况如下。
蓝色曲线代表的是当保留到第二项时候所得到的相对偏差百分率随振幅变化情况, 红色曲线代表的是当保留到第四项时候所得到的相对偏差百分率随振幅变化情况, 绿色曲线代表的是当保留到第六项时候所得到的相对偏差百分率随振幅变化情况。
从图中我们可以看到这样一个事情, 就是单摆的那个实际的周期跟那个由周期公式给出来的值相对比的话, 偏差真的是非常小, 就拿这个例子来说, 你要是把那什么保留到2次项的时候, 在摆角是20°的那个情况下, 偏差还是不到1%的, 而要是摆角是在某个其他角度的时候, 偏差还是不到2%的。
即使摆角达到了60度, 单摆的周期公式产生的偏差都还是不到百分之8呢。只有当摆角的度数超过了70度的时候了情况下, 单摆的周期公式的偏差数值, 才会真的超过百分之10。
从情况中可以看出来, 虽然单摆的周期是因为摆角增加而增加。但是增加的这个程度是非常缓慢的。单摆周期公式在摆角比较大的范围里面都是相当准确的。
假设我们拿单摆来造一个钟表, 在它的摆角是5度的情况下, 说白了就是把摆锤向两边各摆动5度, 每天记录出来的时间差大约是40秒, 要是把这个角度再减小一半, 变成单侧5度、总体来回摆动幅度更小的情形, 那时候时间的偏差就只有12秒了。
由此可见, 单摆周期这一公式, 确实是一个非常 的公式, 同时单摆所具备的等时性特征, 也是相当可靠的！
再回头去看一下前面根据比较角度和正弦值之间的差距所得到的那个分析结果, 我们会发现,那样的做法甚至都没有把那个周期公式的精度给准确地估出来贝语网校, 意思就是那种分析方法其实还是把周期公式的精度给看低了呢。
换一种说法来看, 如果只把正弦值和那个角度的偏差拿来比一比, 就会让大家更愿意去把摆动的角度控制在更小的范围内, 这样做的话, 单摆周期的公式就能变得精度更高, 也变得更加靠谱了。
从这一点就可以看清楚, 使用近似条件sinθ≈θ这种方式是十分值得信赖的！
大家在高中的时候学物理这个内容的过程当中, 绝大多数的人都会对摆角是不允许超过特定范围这一情况保持着一种深刻的记忆。
一旦这种共识被大家所共同认可之后, 老师就可以在这个基础之上, 去设计各种各样的题目来考查学生的能力了。只要是那些没有能够将这种共识给牢牢记住的学生, 那么他们答题很有可能会被判定为错误的结果。
然而在现实的情境里面, 5度这个数值并不是一个没有任何例外的、绝对的界限, 说到底它只不过是一种大家普遍都认可的、习惯性的约定俗成的说法而已。我自己觉得, 如果把这种只存在于人们口头或者行业里的约定, 硬说成是那种绝对不能错的物理知识让大家去死记硬背地去学习, 这确实是没有必要的事情。
世界著名的物理学家, 也就是在1962年拿到了诺贝尔物理学奖的列夫·朗道, 他的寿命是从1908年到1968年, 他提出了这样一个观点, 认为在物理学这个研究领域中, 最核心、最重要的环节, 其实是把近似这一套方法给做好。
所以, 当你去学物理的时候, 别把自己陷进去到那些数学细节里面去, 也别没完没了地去追求那种完美性还有准确性, 要是你真这么做了的话, 你会被这些想法带进坑里面的。
最后, 我们再次把话题收束到这篇文章的题目上去, 就是关于如何仅凭一句简短的话来向他人证实自己确实是属于物理系的学生这一件事。
关于这个问题, 答复是, 当然是采用很多种方式存在的, 然而最适宜的那个方式是因为这种方式的精度是非常高的。